利用特殊公式求積分

【摘要】 在定積分的計算中掌握一些特殊的計算公式，常常能起化難為易，簡化計算的作用，從而達到事半功倍的效果.

【關鍵詞】 高等數學;定積分計算;特殊公式

在微積分學中，對于定積分的計算大多依賴于牛頓—萊布尼茨公式，通過求被積函數的原函數在積分上#65380;下限處的函數值之差來完成的. 但對于某些特殊的定積分，如果我們在計算過程中掌握幾個相關運算公式并能恰當地巧用這些公式就可以大大地簡化定積分的計算，從而快捷#65380;正確地求出定積分. 下面舉例說明之.

一#65380;若函數f(x)在[-a，a]上連續，則有 f(x)dx =[f(x) + f(2a - x)]dx

證 在 f(x)dx 中，令x = 2a - t， 當x = a時，t = a;當x = 2a時，t = 0，dx = -dt，故 f(x)dx = f(2a - t)(-dt) =f(2a - x)dx.

所以 f(x)dx =f(x)dx+ f(x)dx =f(x)dx + f(2a - x)dx =[f(x) + f(2a - x)]dx.

例1 求dx.

解 由上述公式可得:dx =

+dx =

dx = π =

-π#8226; arctan0= .

二#65380;若函數f(x)在[-a，a]上連續，當f(x)為奇函數時，則有 f(x)dx = 0

證 在 f(x)dx中，令x = -t，dx = -dt，當x = -a時，t = a;當x = 0時，t = 0，而f(x)為奇函數，故f(-x) = -f(x).

所以 f(x)dx =f(-t)d(-t) = - [-f(t)]dt =

f(x)dx = - f(x)dx.

因此 f(x)dx = f(x) +f(x)dx = - f(x)dx +f(x)dx = 0.

例2 求 xe-| x |dx.

解 因被積函數f(x) = xe-| x |在對稱區間[-3，3]上連續，且為奇函數，故由上述公式可得: xe-| x |dx = 0.

三#65380;若函數f(x)在區間[-a，a]上連續，當f(x)為奇函數時，則有 f(x - a)dx = 0

證 令x - a = t，dx = dt，當x = 0時，t = -a;當x = 2a時，t = a，故 f(x - a)dx =f(t)dt =f(x)dx = 0.

例3 求 e ln dx .

解 令x - 1 = t，故dx = dt，當x = 0時，t = -1;當x = 2時，t = 1，而函數e ln 是奇函數.

故 e ln dx =e ln dt =e ln dx = 0.

四#65380;若f(x) = sinn x或f(x)= cosnx則有

sinn xdx =cosn xdx =

#8226; ，當n為偶數時; ，當n為奇數時.

證 若f(x) = sinn x. 設In= sinn xdx，由分部積分公式可得:

In = sinn xdx =sinn-1 xd(-cos x) = (n-1)sinn-2 x(1 - sin2x)dx，即sinn xdx = sinn-2 xdx.

若設In-2 =sinn-2 xdx，則有In =In-2，(n ≥ 2).

而I0 =dx =， I1 =sin xdx = 1，

故In =sinn xdx =

#8226; #8226;…#8226; #8226; #8226; ，當n為偶數時; #8226; #8226;…#8226; #8226; #8226;1，當n為奇數時.

即 sinn xdx =#8226; ，當n為偶數時; ，當n為奇數時.

注:同理可證f(x) = cosn x的情形.

例4 求 sin9 xdx.

解 由上述公式可得:

sin9 xdx =#8226; #8226; #8226; #8226;1 =.

五#65380;若f(x)在區間[0，a]上連續，則有

f(x)dx = [f(x) + f(a - x)]dx

證 在 f(a - x)dx中，令a - x = t，則dx = -dt，當x = 0 時，t = a;當x = a時，t = 0，故 f(a - x)dx = f(t)(-dt)= f(x)dx，

所以 f(x)dx = [f(x) + f(a - x)]dx.

例5 求 ln(1 + tan x)dx.

解 設f(x) = ln(1 + tan x)，而f(x) + f- x = ln(1 + tan x) + ln1 + tan- x = ln(1 + tan x) + ln1 + =

ln(1 + tan)1 + = ln2.

所以由上述公式可得:

ln(1 + tan x)dx = ln2dx =ln2.

六#65380;若f(x)為連續函數，則有

xf(sin x)dx = f(sin x)dx

證 令x = π - t，則dx = -dt，當x = 0時，t = π;當x = π時，t = 0.

故 xf(sin x)dx =(π - t)f[sin(π - t)](-dt) =

πf(sin t)dt -tf(sin t)dt =

π f(sin x)dx -xf(sin x)dx.

所以 xf(sin x)dx = f(sin x)dx.

例6 求 dx.

解 設f(sin x) = =.

因f(x) =在區間[0，1]上連續，故由上述公式可得: dx =dx =

-= - (arctancos x)π0= .

七#65380;若f(x)在區間[-a，a]上連續，則有

f(x)dx =[f(x) + f(-x)]dx

證 令x = -t，則dx = -dt，當x = -a時，t = a;當x = a時，t = -a，

故 f(x)dx =f(-t)(-dt) = f(-t)dt = f(-x)dx，

所以 f(-x)dx= [f(x)+ f(-x)]dx.

注意到f(x) + f(-x)是偶函數，因此有:

f(x)dx =[f(x) + f(-x)]dx.

例7 求dx.

解 因f(x) =，

而f(x) + f(-x)=+=.

所以由上述公式可得:

dx = dx =

2cos(tan x)d tan x = 2sin(tan x) 0 = 2sin 1.

【參考文獻】

[1] 柳重堪.一元函數微積分.北京: 中央廣播電視大學出版社，2000(7).

[2] 錢林，楊巧林.妙用公式求積分. 高等數學研究2004(6).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”