數列通項公式的幾種常見類型與求法

在數列學習中，求數列通項公式非常重要，而求數列通項公式的方法也有很多，下面將幾種數列通項公式的常見類型與求法歸納如下.

一#65380;利用an與n的關系去觀察#65380;遞推(觀察法)

例1數集序列:{1}，{2，3}，{4，5，6}，{7，8，9，10}，…，第n個集合的第三個數是 .

解依題意:第3個集合第3個數a3 = 6，第4個集合的第3個數a4 = 9，第5個集合的第3個數為a5 = 13，…，設第n個集合第3個數為an，則由上觀察a3 = 6，a4 - a3 = 3，a5 - a4 = 4，a6 - a5 = 5，…，an - an - 1 = n - 1，則

an = (an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) + … + (a4 - a3) + a3 = (n - 1) + (n-2) + … + 4 + 3 + 6 = 6 +(n - 3) =.

∴ 第n個集合的第3個數是 .

二#65380;“an + 1 - an = d(常數)”或“= q(常數)”型 (定義法)

例2① 已知{an}中，a1 = 1，an+1 - an = 1，則an =.

② 已知{an}中，a1 = 1，2an + 1 - 3an = 0則an =.

解① ∵ an + 1- an = 1，

∴ {an}為等差數列，∴ an = 1 + (n - 1) #8226; 1 = n ， ∴ an = n.

② ∵ =，∴ {an}為等差數列， ∴ an =n - 1 .

三#65380;“an+1 - an=f(n)”型 或“ = f(n)”型(累加法或累乘法)

例3① 已知a1 = 1，an = an-1 + 3n-1(n ≥ 2)，求an =.

②已知a1 = 2，an+1 =an (n∈N+)，求an =.

解① ∵ an - an - 1 = 3n - 1(運用累加法)，

∴ an = (an - an - 1) + (an - 1 - an - 2) + … + (a2 - a1) + a1，

∴ an = 3n - 1 + 3n - 2 + 3n - 3 + … +3 + 1 =an (n∈N+).

② ∵ =(運用累乘法)，

∴ an = #8226;#8226;#8226;…#8226; #8226; #8226;a1，

∴ an = #8226;#8226;#8226; #8226;…#8226; #8226; #8226;2 = n(n + 1).

∴ an = n(n + 1).

四#65380;“an = s1(n = 1)sn - sn - 1(n ≥ 2)”型 或“sn = f(n)”型(公式法)

例4① 已知數列{an}前n項和為sn = 2n2 + 3n + 2，求an =.

② 已知a1 + 2a2+ 3a3 + … + nan + (n + 1)an + 1= sn， a1 = 1，求an =.

解① n = 1時，s1 = a1 = 7;n ≥ 2時 (運用公式“an = sn - sn-1”)，

an = sn - sn - 1 = 2n2 + 3n + 2 - (n - 1)2 - 3(n - 1) - 2 = 4n + 1，

∴ an = 7，n = 1，4n + 1，n ≥ 2.

② sn = a1 + 2a2 + 3a3 + … + (n + 1)an + 1.

sn - 1 = a1 + 2a2 + 3a3 + … + nan (運用公式“an = sn - sn - 1”).

以上兩式相減得:an = (n + 1)an + 1.

再運用累乘法:an =#8226; #8226;#8226;…#8226;#8226;#8226;a1，

∴ an =.

五#65380;“an + 1 = pan + q”型 (待定系數法)

例5已知a1 = 1，4an + 1 = 2an + 3，求an .

解∵ 4an + 1 = 2an + 3，∴ an + 1 =an +.

于是，設存在常數λ使an + 1 =an +.

變形為:an + 1 - λ =(an - λ)，比較系數得λ=.

∴ an -為等比數列，

∴ an -=(a1-)( )n - 1，

∴ an =- ( )n.

六#65380;“an + 1 =”型(倒數法)

例6已知數列{an}首項a1 =，an + 1 =(n∈N+)，求{an}的通項公式.

解∵ an + 1 =，∴ = +，

∴ - 1 = (- 1) ，∴ - 1是等比數列，

∴ -#8226;=，∴ an =.

七#65380;“an + 1 = pan + f(n)”型 (迭代法)

例7已知a1 = 1，an + 1 = 2an + n，求{an}通項公式.

解∵ an + 1 = 2an + n，∴ an = 2an - 1 + n - 1.則

an = 2(2an - 2 + n - 2) + n - 1 = 22an - 2 + 2(n - 2) + (n-1) = 22(2an - 3 + n - 3) + 2(n - 2) + (n-1) = 23an - 3 + 22(n - 3) + 2(n-2) + (n-1) = …= 2n - 1 + n- (n - 1)2n - 1 - = 2n - 1 + (n + 1)- (n - 1)2n-1 = 3#8226;2n - 1 - (n + 1).

八#65380;其他不規則型(數學歸納法)

例8 ① 已知a1 = 2，an + 1 = an2 - nan + 1(n∈N+).

求an = .

② 設正整數數列{an}，a2 = 4，對n∈N+，

2 + < < 2 =，求通項an.

解① ∵ a1 = 2，當n = 1時a2 = 22 -2 + 1 = 3，當n = 2時a3 = a22-2a2 + 1，

∴ a3 = 4. 同理a4 = 5. 由此猜想:an = n + 1(n∈N+).

下面證明:當n = 1，a1 = 2 猜想正確.

假設n = k時(k∈N+)，ak = k + 1 猜想成立.

則ak + 1 = (k + 1)2 - k(k + 1) + 1 = (k + 1) + 1，

所以n = k + 1時，猜想正確. 綜上所述，an= n + 1.

② ∵ 2 + < n(n + 1)(+) < 2 +，

∴當n = 1時，2 + < 2(+) < 2 +.

解之，

∴ a1 = 1，當n = 2時2 + < 6(+) < 2 +.

解之，8 < a3 < 10.

∴ a3 = 9，由上猜想an = n2(用數學歸納法證明略).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”