第二重要極限存在性的兩種證明方法

【摘要】 給出了第二重要極限存在性的兩種不同的證明方法.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列;單調(diào)性;有界;極限

證法一

易證 引理1 . 設(shè)0 ≤ a < b，則有

< (n+1)bn

(n = 1，2，…)[1] .

或bn[(n + 1)a - nb] < an + 1，其中a，b為常數(shù)， (1)

在(1)中取a = 1 +，b = 1 +，則有

(n + 1)a - nb = (n + 1)1 + - n1 + = n + 2 - (n + 1) = 1.

所以1 +n < 1 +n+1，即數(shù)列1 +n單調(diào)遞增.

在(1)中取a = 1，b = 1 +，則有

(n + 1)a - nb = (n + 1) - n1 + = n + 1 - n - =.

所以1 + < 2，即1 +2n < 4 (n = 1，2，…).

又因為數(shù)列1 +n單調(diào)遞增，所以

1 +n < 1+ 2n < 4(n = 1，2，…).

即數(shù)列1 +n單調(diào)遞增有上界，從而第二重要極限存在.

證法二 證法一仍然是沿用現(xiàn)行教材中對于第二重要極限的存在性的證明方法，即以證明數(shù)列1 +n遞增且有上界來完成的. 現(xiàn)給出一種新的證明方法:

易見 1 +n =1 +n+1，且數(shù)列 1 +n+1顯然有下界.如能證明數(shù)列1 +n+1遞減，則說明第二重要極限存在.

引理2 (伯努利不等式) 設(shè)實數(shù)h > -1，n為正整數(shù)，則有(1 + h)n > 1 + nh[2].

由引理2可以證明數(shù)列1 +n+1遞減.

事實上，由引理2可得:

n+1=1 +n+1 > 1 + > 1 + =，

即 n+1#8226; n+1 >，

即 n+1 >n+1，

于是 1 +n+1 > 1+ n+2.

故數(shù)列1 +n+1遞減，從而第二重要極限的存在性得以證明.

【參考文獻】

[1] 丁壽田譯.數(shù)學(xué)分析原理.北京:人民教育出版社，1960.

[2] 吳新仁，陸秀麗譯.數(shù)學(xué)分析原理(第一卷第一分冊).北京:人民教育出版社，1979.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”