三角函數(shù)最值的特征解法

三角問(wèn)題是高考的一大熱點(diǎn)，尤其是求三角函數(shù)的最值，更是高考經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn). 求解三角函數(shù)的最值一般有三種方法:(1)三角方法:先通過(guò)三角恒等變換，化為只含一個(gè)角的一種三角函數(shù)的式子，再依|sin x| ≤ 1 或|cos x| ≤ 1來(lái)確定函數(shù)的最值;(2)代數(shù)方法:先通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)，再選用配方法#65380;不等式#65380;判別式法#65380;單調(diào)性法等求解;(3)解析法:將三角函數(shù)與坐標(biāo)定義聯(lián)系起來(lái)，運(yùn)用解析的知識(shí)來(lái)求其最值，這時(shí)利用好點(diǎn)線之距公式#65380;斜率公式#65380;直線方程等. 解題中不僅要充分運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)#65380;公式等知識(shí)，而且還需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征. 采用相應(yīng)的特征解法或技巧——特征解法.

一#65380;化單法

所謂的化單法，就是對(duì)于形如“a sin x + b cos x”的三角式通過(guò)設(shè)輔助角θ將其化成 sin(x + θ)或 cos(x + θ)的形式求法，即化為一個(gè)三角函數(shù)，并利用sin x與cos x的有界性求其最值.

例1 求函數(shù)y = cos 2x + 3sin xcos x +(x∈R)的最大值與最小值.

解 y =(1 + cos 2x) +sin 2x + =

cos2x +sin 2x + 2 =

sin2x + + 2 .

當(dāng)sin2x + = 1時(shí)，ymax = 3;

當(dāng)sin2x + = -1時(shí)，ymin = 1.

二#65380;配方法

形如 y = a sin 2 x + b sin x + c或y = a cos 2x + b cosx + c，令sin x = t或cos x = t轉(zhuǎn)化為y = at2 + bt + c的二次函數(shù)式，直接采用配方法，并注意sin x(或cos x)的有界性對(duì)最值的影響.

例2 求函數(shù)y = cos2x + 4sinx 的最值.

解 y = 1 - sin2x + 4sin x = -(sin x - 2)2.

當(dāng)sin x = 1時(shí)，ymax = 4;

當(dāng)sin x = -1時(shí)，ymin = -4.

三#65380;單調(diào)性法

若所給的三角函數(shù)式在給定閉區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則其最值就是其端點(diǎn)值.

例3 求函數(shù)y =的最大值.

解 y = = =

(1 + sin x)- .

令t = sin x，則y = t -，且t∈(0，2].

已知y = t -在t∈(0，2]上是增函數(shù)

∴ t = 2，即sin x = 1時(shí)，ymax = 1.

四#65380;反函數(shù)法和分離常數(shù)法

利用互為反函數(shù)的定義域與值域的互換關(guān)系，直接或間接地求出sin x或cos x，并利用其有界性求函數(shù)的值域，從而求出最值.

例4 求y =的最值.

解法1 由已知得sin x =.

由-1 ≤ sin x ≤ 1得 -1 ≤ ≤ 1.

∴ ≤ y ≤ 2，

∴ymax = 2，ymin =.

解法2 y = = = + 1.

∵ -1 ≤ sin x ≤ 1，

∴ -1 ≤ 2 - sin x ≤ 3，

∴ ≤ ≤ 1，

∴ ≤ + 1 ≤ 2，

∴≤ y ≤ 2.

∴ ymax = 2，ymin =.

五#65380;換元法

對(duì)于形如sin x + cos x與sin x#8226;cos x同時(shí)共存于三角函數(shù)式時(shí)，可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，但必須注意中間量的范圍.

例5 求t = sin x#8226;cos x + sin x + cos x的最大值.

解 令t=sin x+cos x，則t∈[- ， ] 且有

sin x#8226;cos x =.

∴y =(t2 - 1) + t =(t + 2)2 -.

當(dāng)t =時(shí)，ymax = +.

六#65380;基本不等式法

利用≥(a，b∈R+). 當(dāng)a + b為定值時(shí)，ab有最大值;當(dāng)ab為定值時(shí)，a + b有最小值. 但必須注意“=”是否可取.

例6 求函數(shù)y =sin x#8226;cos2x0 < x <的最大值.

解 ∵ x∈0， ，∴y < 0，

∴ y2 = sin2x#8226;cos4x =#8226;2sin2x#8226;cos2x#8226;cos2x≤ 3 = 3.

當(dāng)且僅當(dāng)2sin2x = cos2x，即tan2x= 時(shí)，ymax = 3.

七#65380;判別式法

若所給的三角函數(shù)式是分式函數(shù)且分子#65380;分母的最高次數(shù)為二次時(shí)，可先轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再轉(zhuǎn)化為二次方程，通過(guò)討論方程的解判別式Δ≥0求解.

例7 求函數(shù)y =的最值.

解 整理，得(y - 1)tan2x - (y + 1)tan x + (y - 1) = 0.

∵sec2x - tan x = tan2x -tan x + 1 > 0，∴tan x ∈R，

∴ y≠1時(shí)，Δ ≥ 0即(y + 1)2 - 4(y - 1)2 ≥ 0，

解得 ≤ y ≤ 3且y ≠ 1.

而當(dāng)y=1，tan x = 0也有解，故y = 1也屬于值域，

∴ ymax= 3，ymin =.

八#65380;幾何法(也稱數(shù)形結(jié)合法)

根據(jù)所給的三角函數(shù)式，挖掘出它的幾何意義，把抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化為直觀圖形或用|sin x| ≤ (|cos x| ≤ 1)的方法進(jìn)行求解.

例8 求函數(shù)y =的最值.

解法1 由y =可知y的幾何意義為定點(diǎn)Q(2，1)與單位圓上的動(dòng)點(diǎn)P(cos θ，-sin θ)連線的斜率(如圖所示)，設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(2，1)的直線為y - 1 = k(x - 2)，易見(jiàn)直線與圓相切時(shí)斜率可取最值.

由= 1得，k = 0或k =，

所以ymax =，ymin = 0.

解法2 原函數(shù)變形得sinθ + ycos θ = 2y - 1，

即sin(x + θ) =.

∵ |sin(x + θ)|≤1，∴ ≤ 1，

∴ |2y - 1| ≤，∴ 3y2 - 4y ≤ 0.

解得 ymax =，ymin = 0.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”