例說應用導數證明不等式

在高中數學新課程標準(實驗) 中，關于導數的教學，有這樣的要求:教師應引導學生在解決具體問題的過程中，將研究函數的導數方法與初等方法作比較，讓學生體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性.導數是研究函數性質的一種重要工具.例如:求函數的單調區(qū)間#65380;求最大(小)值#65380;求函數的值域，等等.作為導數在研究函數中應用的一個副產品，在處理與不等式有關的綜合性問題時往往需要利用函數的性質#65380;因此，很多時侯可以先利用導數作為工具得出函數的性質，再利用函數的性質解決不等式問題.下面具體討論導數在解決與不等式有關的問題時的應用.

1. 構造函數用導數證明不等式

例1 已知x∈(0，+∞)，求證:ln(1 + x) > x2 - x3.

證明 令f(x) = ln(1 + x) - x2 + x3，則f′(x) = - 2x + 3x2 =.

當x∈(0，+∞)時，f′(x) >0.

因此，f(x)在(0，+∞)上為增函數，

所以，當x∈(0，+∞)時，f(x) > f(0) = 0，

即ln(1 + x) > x2 - x3 .

注:此題是根據2007年山東卷理科第22題(Ⅲ)改編的.

一般地，欲證 f(x) < g(x)(a < x < b)，只需證h(x)=g(x) - f(x)在[a，b)上為增函數且h(a) ≥ 0，或只需證 h(x)=g(x) - f(x)在(a，b]上為減函數且h(b) ≥ 0.

例2 已知0 < a < b < e，比較ab與ba的大小.

分析 欲比較ab與ba的大小，取自然對數后，只需比較b ln a與a ln b的大小，再除以正數ab，只需比較與 的大小，故令f(x) =，則f′(x) =.

當x∈(0，e)時，ln x < ln e = 1，f′(x) > 0，所以f(x)在 (0，e)上為增函數，由0 < a < b < e，得<，于是，ab < ba.

先把待比較大小的式子變形后再構造函數，然后利用導數證明該函數的單調性，最后利用函數單調性來比較大小.

2. 用導數證明不等式案例賞析

《普通高中數學課程標準(實驗)》 指出，“數學是人類文化的重要組成部分. 數學是人類社會進步的產物，也是推動社會發(fā)展的動力”. 通過在高中階段數學文化的學習，學生將初步了解數學科學與人類社會發(fā)展之間的相互作用，體會數學的科學價值#65380;應用價值#65380;人文價值，開闊視野，尋求數學進步的歷史軌跡，激發(fā)對于數學創(chuàng)新原動力的認識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領會數學的美學價值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識.

例3 證明貝努利(Bernoulli)不等式:如果x是實數，且x > -1，x ≠ 0，n為大于1的自然數，那么(1 + x)n > 1 + nx.

證明 令f(x) = (1 + x)n - 1 - nx，則f′(x) = n(1 + x)n - 1 - n.

(1) 當 -1 < x < 0時，0 < 1 + x < 1，而n - 1 > 0，

因此(1 + x)n-1 < (1 + x)0 = 1，所以n(1 + x)n-1 < n.

故f′(x) < 0，即f(x)在(-1，0)上為減函數.

(2) 當x > 0時，1 + x > 1，而n - 1 > 0，

因此(1 + x)n - 1 > (1 + x)0 = 1，所以n(1 + x)n-1 > n.

故f(x) > 0，即f′(x)在(0，+∞)上為增函數.

綜上可知f(0)是唯一的最小值，于是當x∈(-1，0)∪(0，+∞)時，有f(x) > f(0) = 0，因此(1 + x)n > 1 + nx(x > -1且x ≠ 0 ).

貝努利不等式很容易被推廣到更一般的情形:

(1) 當α是實數，并且滿足α > 1或α < 0時，有

(1 + x)α ≥ 1 + αx(x > -1).

(2) 當α是實數，并且滿足0 < α < 1時，有

(1 + x)α ≤ 1 + αx(x > -1).

關于貝努利不等式，用數學歸納法(高中數學人教A版課本選修4-5不等式選講[2]第51頁或2007年湖北卷理科第22題(Ⅰ))只能證明“n為大于1的自然數”的情形，對于一般的情形，用導數來證明就很容易了.

例4 (三角形大邊對大角的推廣[3])在△ABC中，若AB < λAC，則∠C < λ∠B，其中0 < λ ≤ 1.

證明 若 λ = 1，顯然成立;

若λ∠B為鈍角或直角，則從AB <λAC ≤ AC知 ∠C < ∠B，故∠C必為銳角，于是∠C < λ∠B.

下面就0< λ< 1以及λ∠B為銳角的情形加以證明，為此，先建立一個輔助不等式，即當0 < λ< 1，θ∈(0，π)時，有λsin θ < sin λθ.

事實上，令f(θ) = λsin θ - sinλθ，則

f′(θ) = λcos θ - λcosλθ = λ(cos θ - cosλθ).

由余弦函數在[0，π]上為減函數，由λθ < θ ，可知f′(θ) < 0，故f(θ)在(0，π)內單調遞減，由此可知f(θ) < f(0) = 0，即λsin θ < sinλθ.

現在，由正弦定理，有=，故

sin C =sin B < λsin B < sinλB.

注意到∠C及λ∠B均為銳角，又正弦函數在0，內是單調遞增的，所以從上述不等式可得∠C<λ∠B .

綜上三種情形，例4得證.

用導數探究函數的單調性#65380;極值等性質及其應用，使大家感受導數在解決數學問題和實際問題中的作用，體會微積分的產生對人類文化發(fā)展的價值[1].

通過以上案例賞析的學習，讓學生了解人類社會發(fā)展與數學發(fā)展的相互作用，認識數學發(fā)生#65380;發(fā)展的必然規(guī)律;了解人類從數學的角度認識客觀世界的過程;發(fā)展求知#65380;求實#65380;勇于探索的情感和態(tài)度;體會數學的系統性#65380;嚴密性#65380;應用的廣泛性，了解數學真理的相對性;提高學習數學的興趣.

3. 高考題中應用導數處理不等式問題

近幾年高考數學導數命題基本方向沒變，首先用導數研究函數的性質(單調性#65380;極值#65380;最值等)，然后用所得到性質綜合處理函數圖像#65380;方程根的分布#65380;不等式等有關問題，其中不等式問題出現得比較多，下面是證明不等式的例子.

例5 (2004年天津卷文科第21題)已知函數f(x) = ax3 + cx + d(a ≠ 0)是R上的奇函數，當x = 1時 f(x)取得極值-2.

(1) 求f(x)的單調區(qū)間和極大值;

(2) 證明對任意x1，x2∈(-1，1)，不等式|f(x1) - f(x2)| < 4恒成立.

解 (1) f(x) = x3 - 3x，f(x)在區(qū)間(-1，1)上是減函數，極大值f(-1) = 2，極小值f(1) = -2.(過程略)

(2) 由(1)知，f(x) = x3 - 3x(x2∈[-1，1])是減函數，且f(x)在[-1，1]上的最大值M = f(-1) = 2;f(x)在[-1，1]上的最小值m = f(1) = -2.

所以，對任意的x1，x2∈(-1，1)，恒有

|f(x1) - f(x2)|< M - m = 2-(-2) = 4.

如果能求出f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值為M，最小值為m，那么對于任意x1，x2∈[a，b]，恒有|f(x1) - f(x2)|≤ M - m.

例6 (2005年遼寧卷第22題)函數y = f(x)在區(qū)間(0，+∞)內可導，導函數f′(x)是減函數，且f′(x) > 0. 設x0∈(0，+∞)，y = kx + m是曲線y = f(x)在點(x0，f(x0))得的切線方程，并設函數g(x) = kx + m.

(1) 用x0，f(x0)，f′(x0)表示m;

(2) 證明:當x∈(0，+∞)時，g(x) ≥ f(x);

(3) 若關于x的不等式x2 + 1 ≥ ax + b ≥x 在[0，+∞]上恒成立，其中a，b為實數，求b的取值范圍及a與b所滿足的關系.

解 (1) m = f(x0) - x0f′(x0).

(2) 令h(x) = g(x) - f(x)，則h′(x) = f′(x0) - f′(x)，h′(x0) = 0.

因為f′(x)遞減，所以h′(x)遞增，因此，當x > x0時，h′(x) > 0;當x < x0時，h′(x) < 0.所以x0是h(x)唯一的極值點，且是極小值點，可知h(x)的最小值為0，因此h(x) ≥ 0即g(x) ≥ f(x).

(3) 0 ≤ b ≤ 1，a > 0是不等式成立的必要條件，以下討論設此條件成立.

不等式x2 + 1 ≥ ax + b，即x2 - ax + (1 - b) ≥ 0對任意x∈[0，+∞)成立的充要條件是a ≤ 2(1 - b) .

令?準(x) = ax + b -x ，于是ax + b ≥x 對任意 x∈[0，+∞)成立的充要條件是?準(x) ≥ 0.

由?準′(x)= a - x= 0，得x = a-3.

當0 < x < a-3時，?準(x) < 0;當x > a-3時，?準(x) > 0，所以，當x = a-3時，?準(x)取最小值.因此?準(x) ≥ 0成立的充要條件是?準(a-3) ≥ 0，即a ≥ (2b) .

綜上，不等式x2 + 1 ≥ ax + b ≥x 對任意x∈[0，+∞)成立的充要條件是(2b) ≤ a ≤2(1 - b) .①

顯然，存在a，b使①式成立的充要條件是:

(2b) ≤ 2(1 - b) . ②

有解，解不等式②得≤ b ≤ . ③

因此，③式即為b的取值范圍，①式即為實數a與b所滿足的關系.

與貝努利不等式的證明一樣，利用極值或最值可處理一些不等式的上限和下限問題.

例7 (2007年四川卷理科第22題)設函數f(x) = 1 +x (n∈N，且n > 1，x∈R ).

(Ⅰ) 當x = 6時，求1 +x的展開式中二項式系數最大的項;

(Ⅱ)對任意的實數x，證明> f′(x)(f′(x)是f(x)的導函數);

(Ⅲ)是否存在a∈N，使得an <1 +k < (a + 1)n恒成立?若存在，試證明你的結論并求出a的值;若不存在，請說明理由.

解 (Ⅰ).

(Ⅱ)先證1 + > ln1 +.

令g(x) = x - ln(1 + x)，則g′(x) = 1- .

當x∈(0，+∞)時，g′(x) > 0.

因此，g(x)在(0，+∞)上為增函數，

所以，當x∈(0，+∞)時，g(x) > g(0) = 0.

即x > ln(1 + x)，于是得1 + > >ln1 +.

因為f′(x) = 1 +x ln1 +，而= ≥1 +x+1 > 1 +x ln1 +，故> f′(x).

(Ⅲ) 由1 +k = C + C + C2+ … +Ck = 1 + 1 + C2 + … + Ck ，得當k > 1時，1 +k > 2.

下證1 +k > 3，由(Ⅱ)得 ln1 +k <，

故ln1 +k < 1，從而1 +k< e < 3.

因為n > 1，所以2n <1 +k < 3n，

因此存在a = 2，使得an <1 +k< (a + 1)n恒成立.

通過上述的幾個實例，感受導數在研究函數和解決實際問題[4]中的作用，特別處理不等式的有關問題，體會導數的思想及其內涵.

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京:人民教育出版社，2003.

[2] 人民教育出版社.普通高中課程標準實驗教科書A版.不等式選講(選修4-5)[M].北京:人民教育出版社，2005(6).

[3] 馮仕虎.三角形大邊對大角定理的加權推廣[J].中學數學 (現為中學數學月刊)，1984(6).

[4] 馮仕虎.對圓的面積最大內接三角形的探究[J].數學教學通訊，2007(12).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”