模糊數學在現實中的應用

【摘要】 本文介紹了模糊數學的產生#65380;理論及在現實中的應用，詳細介紹了現實應用中最常用的模糊方法——模糊綜合評價法，并舉例說明了其方法的用處.可見模糊數學在現實中具有較大的應用領域和應用價值.

【關鍵詞】模糊數學;模糊綜合評價;應用

一#65380;模糊數學的產生

隨著社會的發展，人們對數學的研究日益復雜，而復雜的事物更難精確化，于是要求建立精確的數學模型，這就給數學的發展帶來了挑戰，如何分析和處理復雜系統也就成為了數學發展中遇到的難題.同時，隨著科學的發展，數學的應用領域也逐漸擴大，越來越多的學科都與數學結下了“姻緣”，如:農業學#65380;醫學#65380;人文學科等.這些學科的大多數概念都具有模糊性，而經典數學是無法描述和處理具有模糊性的概念的，要讓這些不相關的學科在一定的尺度下相互轉換，就要求建立一定的具有模糊性概念的數學來為這些學科提供新的數學描述語言和工具，也就是在這種情況下誕生了模糊數學這門新興學科.模糊數學是由美國控制論專家L.A.扎德(L.A.Zadeh，1921-)教授所創立，他于1965年發表了題為《模糊集合論》(《Fuzzy Sets》)的論文，第一次提出模糊數學的概念.文章的核心理論是用精確的數學方法去描述和研究模糊性現象，從而很好的將數學的研究和應用領域擴大到模糊現象，使數學的發展又上升到一個新的階段.如今模糊數學在氣象#65380;結構力學#65380;控制#65380;心理學等方面已有了具體的研究成果，倍受社會各個方面的高度重視[1].

二#65380;模糊數學理論

2.1模糊數學的理論基礎

扎德提出用“模糊集合”作為表現模糊事物的數學模型，用介于0和1之間的實數來表示集合中元素的隸屬程度，如:“高個子”是個模糊概念， 1米8是高個子，它的隸屬程度是 1;1米75是較高個子，它的隸屬程度是 0.8;1米5的隸屬度就是0.在此基礎上建立四則混合運算#65380;變換等規律，構造出大量模糊的數學運算，通過對復雜的模糊系統進行定量的描述和處理等方法，實現數學對現實世界的研究.

2.2模糊數學的應用

模糊數學是以模糊性的事物為其研究對象的.模糊集合把復雜事物的模糊性對象加以確切化，從而彌補了精確數學#65380;隨機數學的不足.模糊數學經過近40年的發展，已有模糊拓撲學#65380;模糊群論#65380;模糊圖論#65380;模糊概率#65380;模糊語言學#65380;模糊邏輯學等分支，其應用幾乎涉及了自然科學#65380;社會科學和工程技術的各個領域，如農業#65380;林業#65380;氣象#65380;環境#65380;勘探#65380;軍事，等等，并取得了可觀的研究成果.具有代表性的有:首先它將二值邏輯進行了模糊推廣，建立了模糊邏輯，使計算機的邏輯計算逐步接近人的形象思維方式，從而大大提高了計算機對模糊問題的處理能力，使機器智能化取得了突破性的進展.其次它的糊聚類分析理論#65380;模糊神經網絡理論和各種新的模糊定理及算法不斷取得進展.再則其他學科也開始應用模糊數學的原理和方法，如教學質量評估#65380;語言詞義查找#65380;翻譯辨識等均有一些應用模糊數學的實踐，并取得了很好的效果.各種模糊技術成果和產品也逐步從實驗室走向社會，并取得了顯著的社會效應.模糊數學已逐步滲透到人們日常生活的各個方面，相信模糊理論和模糊技術對人類社會的進步必將發揮更大的作用.

三#65380;模糊綜合評價法

模糊綜合評價法是模糊數學中常用的一種方法，其應用是多方面的，可簡要地概括如下:

(1) 評價對象關聯因素集U = {u1，u2，…，un}，

等級抉擇評價集V = { v1， v2， …，vm}.

因素的權重A = (a1， a2， … ，ak) ak = 1.

(2) 單因素評價，設其結果為:

ui → (ui1，ri2，rim)，0 < rij < 1.

得單因素評價矩陣R = r11r12 …r1mr21r22…r2m┆ ┆ …┆rn1rn2…rnm

(3) 將A與R進行數學模糊運算 O，結果歸一化得到綜合評價結果B=AOR = (b1，b2，…，bm).

其中數學模糊運算O通常有三種:主因素突出型 M(●，∨)，M(∧，?茌);主因素決定型M(∧，∨);加權平均型 M(●，?茌)，M(●，+).

3.1綜合評價設置原則[2]

1. 系統性原則.評價指標體系必須能夠全面地反映資源型企業目前的狀態，包括單位發展前景的各方面指標.

2. 科學性原則.評價指標體系的大小必須適宜，如果指標體系過大，層次過多，可能將評價者的注意力吸引到細小的問題上，而指標層次過小，層次過少，也不利于充分反映資源型單位可持續發展的能力.

3. 可操作性原則.評價指標體系應在實際工作中可以獲得數據，具有可操作性.

4. 可比性原則.所選的指標應規范，符合統計原則.

3.2 權重確定的方法

1. 專家咨詢法:針對研究對象以調查形式為主向專家咨詢各評價指標的權重，通常表現為問卷方式.這種方法包含的主觀因素較多，不能客觀地對評價對象進行評估，所以通常把此方法的結果與其他方法一起使用.

2. 層次分析法:分析系統中各因素之間的關系， 建立由系統目標層#65380;準則層#65380;指標層構成的遞階結構，并逐層確定各層因素對上一層隸屬因素的相對權重， 形成數值判斷矩陣結構模型A = (Lij)n × m.矩陣中每層各個因素的相對重要性采用1~9級標度法， 進行兩兩比較[3-4].

3. 灰色關聯法:以被評價方案的各項指標作為比較數列，以各項指標對應的最佳值作為參考數列，求關聯度，關聯度越大，說明該方案越優.

四#65380;應用例子

本文以評估某地城市規劃完成程度為例來說明模糊數學在現實中的應用，其中用到了模糊綜合評價法，具體如下:

1. 評價對象關聯因素集U = {u1，u2，u3，u4}，

其中u1:經濟，u2:社會，u3:環境，u4:人民生活.

因素的權重A = {0.34，0.22，0.25，0.19}，

其中A的確定方法是由專家評價法和層次分析法綜合得到的.

等級抉擇評價集V = { v1， v2， v3 ，v4， v5}，

其中v1:遠未完成，v2:尚未完成，v3:基本完成，

v4:較好完成，v5:超額完成.

2. 對本地進行綜合評價，具體如表1:

采用主因素決定型運算，即M(∧，∨ )，由公式(*)得B = AoR = (b1，b2，b3，b4，b5) = (0.34，0.22，0.25，0.19)o0 0.150.150.350.350 0.220.220.30.260 0.250.30.30.150.10.30.30.20.1= (0.1， 0.25， 0.25， 0.34， 0.34)≈(0.0782， 0.1957， 0.1957， 0.2652， 0.2652).

由計算結果可知較好完成與超額完成所占比重最大均為26.52%，所以該城市規劃完成程度介于較好完成與超額完成之間.

【參考文獻】

[1] 李鴻吉.模糊數學基礎及實用算法[M].北京:北京科學出版社， 2005.

[2] 蔣澤軍.模糊數學教程[M].北京:國防工業出版社，2003.

[3] 吳殿廷，李東方.層次分析法的不足及其改進的途徑[J].北京師范大學學報，2004，40(2).

[4] 魏毅強， 劉進生， 王緒柱. 不確定性AHP 中判斷矩陣的一致性概念及權重[J]. 系統工程理論與實踐，1994，14(7).

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”