二維黎曼問題一些新解

【摘要】 研究沿y方向非凸的標量守恒律的二維黎曼問題，初值是四片常數.應用廣義特征分析方法，研究基本波及其相互作用，獲得一些新的黎曼解的顯式結構.

【關鍵詞】 二維標量守恒律;廣義特征分析方法;非凸的;黎曼解

眾所周知，黎曼問題的研究不僅在非線性雙曲守恒律的理論和應用研究領域占有重要地位，而且在計算方面也起重要作用.由于解具有顯式結構，它被廣泛地應用于解的定量分析和數值計算格式的檢驗.

考慮如下二維標量守恒律:

ui + f(u)x + g(u)y = 0. (1)

其中f(u)，g(u)滿足條件:

f(u)，g(u)∈C3(R1);f″(u) ≠ 0，(u - u0)g″(u) > 0; ′ ≠ 0. (H)

及黎曼問題:

u(0，x，y) = u1，x > 0，y > 0，u2，x < 0，y > 0，u3，x < 0，y < 0，u4，x > 0，y < 0.(2)

條件(H)意味著方程是真正二維的， 且沿y方向非凸， 不失一般性， 可設u0 = 0， 于是u = 0是g(u)的拐點. 引入自相似變換(ξ，η) =， ， 則(1)和(2)變為-ξuξ - ηuη + f(u)ξ + g(u)η = 0，(ξ，η)∈R2.(3)

u(ξ，η) =u1，ξ > 0，η > 0，u1，ξ < 0，η > 0，u1，ξ < 0，η < 0，u1，ξ > 0，η < 0.(4)

因此， 求解黎曼問題(1)-(2)轉化成方程(3)的無窮遠邊值問題(4). 文獻[1，2]研究了當f(u)和g(u)滿足條件f(u) = g(u)，f″(u) > 0，且初值為四片常數時系統(1)的黎曼問題. 這一條件被文獻[3]放寬為

f(u)，g(u)∈C3(R1);f″(u) ≠ 0，g″(u) > 0， ′ ≠ 0.(A)

并完全解決了系統(1)的初值為四片常數的黎曼問題. 進一步地， 文獻[4]研究了初值為三片常數， 滿足條件(A)的黎曼問題. 1986年，文獻[5]研究了當f(u) =，g(u) =，初值為四片常數的黎曼問題.由于f(u) =，g(u) =并不符合條件(A)，而是滿足條件(H)， 因此， 黎曼解的結構要比文獻[1， 2， 3， 4]所構造的解復雜.以上文獻所獲得的解均是由基本波的點點相互作用構造的. 1975年， 文獻[6]在研究當f(u) =，g(u) =， 初值為-1， 0， 1三片常數時， 發現了Guckenheimer結構， 這種解必須通過三個激波的整體相互作用來構造. 1999年，文獻[7]研究了初值為三片常數，滿足條件(A)的黎曼問題，構造出被文獻[4]遺漏的包含Guckenheimer結構的解， 并給出Guckenheimer結構出現的充要條件. 2002年，文獻[8]研究了初值為三片常數，滿足條件(H)的黎曼問題，在其所構造的解中出現了Guckenheimer結構. 最近， 作者研究了滿足條件(H)， 初值為四片常數的黎曼問題， 在所構造的黎曼解中出現了Guckenheimer結構， 這些黎曼解在文獻[5]中被遺漏了.

本文主要研究黎曼問題(1)-(2)中未涉及Guckenheimer結構的幾種特殊的初值分布情況下的黎曼解的結構.

1. 預備知識

1.1奇性曲線和熵條件

對于光滑解，方程(1)可改寫成

(f′(u) - ξ)uξ + (g′(u) - η)uη = 0.(5)

方程(5)的特征方程及特征線分別為

(a)=，= 0;(b)= k，u = c.

其中k和c是任意常數. 由于積分曲線(b)存在奇點(ξ，η) = (f′(u)，g′(u))， 因此特征線是(x，y)-平面上的半直線，并且奇點的集合是一條以u為參數的曲線，即特征的奇性曲線

?祝(u):ξ = f′(u)，η = g′(u).(-∞ < u < +∞)(6)

引理1[8] 在條件(H)下，曲線?祝(u):η = ηg(ξ)是下凸的， 且有最小點(ξ，η) = (f′(0)，g′(0)) = A0.

下面考慮間斷解.設曲線S:η = η(ξ)是一個間斷，u-和u+是S上任一點P兩邊的極限值， 則 Rankine-Hugoniot 條件變為

=.(7)

其中f′+，- =，g′+，- =. 點 (ξ，η) = (f′+，-，g′+，-)，記作A+，-. 從(7)式可看出S在點P 處的切線通過點A+，-. 記n(P)為S在點P處的法向量，方向由u-指向u+，則(7)式可寫成如下幾何形式

n(P)#8226;= 0.(8)

如果固定S一邊的值，例如固定u-， 讓另一邊的值變動，則得到一條以u為參數的曲線，即間斷的奇性曲線?祝s(u，u-):ξ = f′ ，η=g′ .(-∞ < u < +∞)(9)

記作?祝s(u，u-)或η = η?祝s(ξ) .

引理2[8] 對于任一固定點ul ∈R， 曲線?祝s(u，ul):η = η?祝s(ξ) 具有如下性質:

(1) η?祝s(ξ) 是下凸的，且具有最小點(ξ，η) = (f′ ，g′ )，其中=(ul)滿足條件g′( ) = g′=，和ul< 0.

(2) ?祝s(u，ul)位于?祝(u)之上，η?祝s(ξ)≥η?祝(ξ). 等號成立當且僅當ξ = f′(ul)，且和曲線?祝(u)相切于點?祝(ul) = (f′(ul)，g′(ul)).

(3) 對任何u1 < u2，存在?祝s(u，u1)和?祝s(u，u2)的唯一一個交點?祝s(u2，u1) = ?祝s(u1，u2) = (f′2，1，g′2，1) = A12且f′< f′2，1 < f′ .

(4) 對任何u1 < u2， 點?祝(u1)在過點?祝s(u2，u1)所作的曲線?祝s(u，u2)的切線上，而點?祝(u2)也在過點?祝s(u2，u1)所作的曲線?祝s(u，u1)的切線上.

根據Kruzkov存在與唯一性定理，間斷S滿足的熵條件可寫成幾何形式:

n(P)#8226;≤ 0，?坌u∈(u-，u+).(10)

n(P)#8226;≥ 0，?坌u∈(u-，u+).(11)

這意味著對任意u∈(u-，u+)，法向量n(P)和切向量 的夾角是銳角，而n(P)和

的夾角是鈍角， 特別地， 當上兩式的等號成立時， S是接觸間斷波. 如果間斷S滿足R-H條件和熵條件，則稱之為激波(包括接觸間斷波，記做J).

引理3[8] 在滿足條件(H)下， 一個連接u1和u2的間斷S是激波當且僅當

(1) S的切方向指向點?祝s(u+，u-);

(2) S兩邊的特征線都是不出的.

最后我們給出疏散波和激波的分類方法:R = R±， 如果 ξ，ηu和特征線的方向組成左手(右手)系;S = S±， 如果S的法向量和切向量組成右手(左手)系;當包含接觸間斷時，記作JS±或SJ±，R±，S±被稱作基本波.

1.2初始間斷的分類

對于初始間斷我們給出所產生的基本波的類型， 設l是一條始于無窮遠點的初始間斷線，設ul(ur)是它左(右)兩邊的極限值. 沿著它的方向將產生一個基本波， 記做W. 只考慮ul，ur值分布的一種情況ul < 0 < ur， 其余情況以此類推.

記過點Ar和Alr點的直線為l1′，過點Al和Arl點的直線為l2′， 過點Ar和 Al作的切線分別為l3′和 l4′(如圖1). 如果我們在平面的原點作四條射線l1，l2，l3，l4，使其分別和l1′，l2′，l3′，l4′平行， 則四條射線l1，l2，l3，l4把平面分成四個角形區域Ωi(ul，ur)(i = 1，2，3，4)(如圖1). 根據初始間斷l所在的角形區域不同， 我們得到基本波的類型如下:

W=S， if l∈Ω1，R+JS，if l∈Ω2，R，if l∈Ω3，SJ+R，if l∈Ω4.(12)

其中*表示u*∈(ul，ur)滿足

u=u*=，i= l，r.(13)

2. 黎曼解的結構

在這一節， 應用廣義特征分析方法和初始間斷的分類， 我們求解黎曼問題(1)-(2)， 包括基本波的相互作用. 我們著重構造以下幾種新的有代表性黎曼解.

情形1 u2 < u3 < 0 < u4 < u1

在此條件下，基本波都是疏散波，分別為R ，R ，R ，R，由于特征的奇性曲線?祝(u)是下凸的，四個疏散波和經典的疏散波的位置不一樣，三個疏散波R ，R ，R的特征線從無窮遠處發出，從?祝(u)的外側到達奇性曲線?祝(u)，并結束于?祝(u)上的相應的奇性點，而疏散波R的特征線從無窮遠處發出，從?祝(u)的內側到達奇性曲線?祝(u)，并結束于?祝(u)上的相應的奇性點. 顯然，R的跨度剛好是R ，R ，R的跨度之和，這樣，四個疏散波R，R ，R ，R和四片常數相互匹配，構成了黎曼問題(1)-(2)的一個整體解. (見圖2)

情形2 u4 < u1 < 0 < u2 < u3 且-u4 = u3，-u1 = u2.

在這種初值分布的情況下，四個基本波都是激波，分別為S，S ，S，S，由于奇性曲線和初值分布的對稱性，激波S，S，S ，S也具有對稱性，其中激波S，S從(ξ，η)-平面的無窮遠處發出，沿同一條直線，從相反的方向向各自的奇性點A12 = (f′2，1，g′2，1)和 A34 = (f′3，4，g′3，4)行進，同樣，激波S，S從(ξ，η)-平面的無窮遠處發出，也沿同一條直線，從相反的方向向各自的奇性點A23和A14行進，由于g′2，1 < g′2，3 = g′1，4并且f′1，4 < f′1，2 < f′2，3，又激波S，S在同一條直線上，因此，三個激波S，S，S ，必交于一點B = ( f′1，2 ， g′2，3)，這是很獨特的三個激波相交的情形，由于u4 < 0 < u3，在點B又形成一個新的激波S并到達它的奇性點A34 = ( f′3，4 ， g′3，4). 而另一方面，激波S從(ξ，η)-平面的，沿同一條直線，從相反的方向到達它的奇性點A34. 這樣，五個激波S，S ，S，S和S以及四片常數相互匹配，構成了黎曼問題(1)-(2)的一個整體解. 這是一種很獨特的解. (見圖3)

情形 3 u1 < u4 < 0 < u3 < u2 且-u4 = u3.

在這種初值分布的情況下，四個基本波分別是兩個激波S，S和兩個疏散波S ，S，由于S ，S的特征線所對應相應的奇性點的集合分別是?祝(u)上的曲線段A2A3和A1A4，而激波S的所對應相應的奇性點A12 = ( f′1，2 ， g′1，2)在S，S的特征線之下，因此，疏散波S ，S和激波S會發生相互作用，具體如下:由于 f′1，2 < f′1

顯然，激波S:η=η (ξ)的軌跡是一條凸的曲線， 結束于點 (見圖4)，在點B激波S又和疏散波R相交又形成一個新的激波S:η=η (ξ)，從點B開始，同時穿透兩個疏散波S，S，由于奇性曲線和疏散波S，S的特征線的對稱性，激波S的軌跡是一條直線，在同時穿透完兩個疏散波S，S后，結束于點B1并又形成一個新的激波S，激波S從點B1開始，結束于它的奇性點A34 = (f′3，4，g′3，4). 同情形2一樣，激波S從(ξ，η)-平面的從無窮遠處發出，不和其他基本波相互作用，直接從相反的方向到達并結束于它的奇性點A34. 這樣，五個激波S，S，S，S，和S兩個疏散波R，R以及四片常數相互匹配，構成了黎曼問題(1)-(2)的一個整體解. (見圖4)這是三種情形中解的結構最為復雜的一種情形.

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”