三次ｌｏｇｉｓｔｉｃ方程的全局穩(wěn)定性

【摘要】 本文對三次logistic方程xn+1 = xne(r > 0)其關(guān)于正平衡點k的穩(wěn)定性進行討論. 利用引理1，2，3得到三次Logistic方程(4)的正平衡點k全局穩(wěn)定的充要條件是-2 ≤ r(ak + 2bk2 - 3k3) ≤ 0.

【關(guān)鍵詞】 logistic;正平衡點;全局穩(wěn)定

對于三次logistic方程

xn+1 = xne (r > 0)(1)

其關(guān)于正平衡點k的穩(wěn)定性. 考慮xn→+∞時也要保持穩(wěn)定，那么方程(1)中的c < 0，通過令 xn = yn，方程(1)可以簡化成

xn+1 = xne (r > 0)(2)

的形式.

考慮方程(2)可看做方程

x(t) = rx(t)[1 + ax(t) + bx2(t) - x3(t)](r > 0)(3)

的離散形式. 在方程f(x) = 1 + ax + bx2 - x3中，f(0) = 1 > 0，f(+∞) = -∞ < 0至少有一個正解，設(shè)這個正解為k > 0，則f(x) = 1 + ax + bx2- x3 = (x - k)(-x2 + dx -)，得d + k = b，-kd = a.

方程f(x)只有一個正的解，那么只要滿足(1)d2 - < 0或(2) d2 - > 0且d = - < 0，k >0，從這里可以看出只要a > 0， f(x)就只有一個正的解.

得到方程 xn+1 = xne (r > 0，a > 0).(4)

有唯一的正平衡點k且滿足1 + ak + bk2 - k3 = 0.

考慮一般一維離散方程xn+1 = f(xn)連續(xù)可微，k為其平衡點，我們有下面的引理.

引理1 若|f′(k)| > 1，則平衡點k局部不穩(wěn)定;若|f′(k)| < 1，則平衡點k局部穩(wěn)定;若f′(k) = 1，f(k + ε) = k + ε + 0(ε2)，由于x > k時，f(x) < x，所以k + ε > f(k + ε) > k，類似地有k - ε < f(k - ε) < k. 故f′(k) = 1時，平衡點k局部穩(wěn)定;對于f′(k) = -1時，先給出

引理2 設(shè) xn+1 = R(xn)(R連續(xù)可微)，R(1) = 1，R′(1) = -1，定義

P(x) = = P0 + P1(x - 1) + P2(x - 1)2 + …

其中Pi是P展開式的第I項系數(shù)，則平衡點1局部穩(wěn)定(當且僅當P2i+1 > 0)，這里P2l+1是P展開式除P0外的第一個非零系數(shù).

引理3 設(shè)xn+1 = xnef(x)，f(x)是三次多項式，且有唯一的正的極值點和正的平衡點，如果平衡點局部穩(wěn)定，則平衡點全局穩(wěn)定.

猜想:方程(4)的唯一正平衡點k穩(wěn)定當且僅當

-2 ≤ r(ak + 2bk2 - 3k3) ≤ 0.

證明 設(shè)g(x) = xe ，則

g′(x) = e [1 + r(ax + 2bx2 - 3x3)].

g′(0) > 0且g′(+∞) < 0，所以g(x)在(0，+∞)中存在極值點，設(shè)為C > 0.

1 + r(ax + 2bx2 - 3x3) = (x - C)(-3rx2 + ex -)，

得e + 3rC = 2br，-- Ce = ar 得到e < 0，從而得到上述方程的正解只有一個. 所以方程g(x) = xe只一個正的極值點.

必要性:(反證法)假設(shè)r(ak + 2bk2 - 3k3) < -2或r(ak + 2bk2 - 3k3) > 0，得|g′(k)| > 1.

由引理1，平衡點k不穩(wěn)定，矛盾.

故平衡點k穩(wěn)定必有-2 ≤ r(ak + 2bk2 - 3k3) ≤ 0. 充分性:下面分兩種情形來討論:

情形一:g(x)的極值點C在其平衡點k的左側(cè)，即C ≤ k.

(1) 當-2 ≤ r(ak + 2bk2 - 3k3) < 0時，有|g′(k)| < 1;

當r(ak + 2bk2 - 3k3) = 0時，有g(shù)′(k) =1.

由引理1，平衡點k穩(wěn)定.

(2) 當r(ak + 2bk2 - 3k3) = -2時，亦可證得平衡點全局穩(wěn)定. 因篇幅所限，這里不再給出詳細證明過程.

情形2:極值點C在平衡點k的右側(cè)，即C > k.

(1) x∈(0，k)時，g(x)單調(diào)遞增且g(x) ≤ k，即xn單調(diào)遞增且xn ≤ k，所以xn→k.

(2) x∈(k，C)時，g(x)單調(diào)遞增且g(x) > k，即xn單調(diào)遞減且xn > k，所以xn→k.

(3) x∈(C，+∞)時，g(x)∈(0，k]∪(k，C]，即xn∈(C，+∞)時，xn+1∈(0，k]∪(k，C]，由(1)，(2)，所以xn→k .

故平衡點k全局穩(wěn)定.

綜上所述，三次Logistic方程(4)的正平衡點k全局穩(wěn)定的充要條件是-2 ≤ r(ak + 2bk2 - 3k3) ≤ 0.

【參考文獻】

[1]李桂花.四川大學學報(自然科學版)，2000，37(2):164~167.

[2]王曉萍.生物數(shù)學學報，1999，14(1):56~60.

[3]Cull P.Bulletin of Mathematical Biology，1988，50(1):67~76.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文#65377;”