兩參數寬過去馬氏過程的強馬氏性

【摘要】 定義了一類兩參數寬過去馬氏過程的強馬氏性，給出了滿足強馬氏性的一個充分條件，研究了此類強馬氏過程的一些性質.

【關鍵詞】 兩參數;馬氏過程;強馬氏性

1. 前言

兩參數馬氏過程關于停點的強馬氏性的定義方式可分為兩類，一類是時間變化為非隨機的，像王梓坤[6]和周健偉[4，5]中定義的，另一類是時間變化為隨機的，像候強[1]中定義的，但[1]中定義要求比較強.本文希望定義另一種寬過去強馬氏性，它與[4，5]的定義互不包含.在有限條件下，它比[1]的定義要求弱，其原因是類似于[2，3]的方法，現在σ-域加進了σ(τ，η)

記R = (-∞，+∞)，R+ = [0，+∞)，R= R+ × R+，R = R × R，R = R∪{(+∞，+∞)}. 對任意Z =(s，t) ∈ R，令?墜 Z={(s，v)∶t ≤ v < ∞}∪{(u，t)∶s ≤ u < +∞};R = {(u，t)∶0 ≤ u ≤ s，v∈R+}∪{(u，t)∶u∈R+，0 ≤ v ≤ t}.在不會誤解時，將(0，0)記為0，(+∞，+∞)記為∞.“≤”，“<” 分別表示R中通常的半序和嚴格半序.對?坌Zi= (si，ti)∈R，(i = 1，2)，令Z1∨Z2 = (max{s1，s2}，max{t1，t2}).Z1∧Z2 =(min{s1，s2}，min{t1，t2})，

Z1#8226;Z2 = (s1，t2)，若Z1 < ∞，Z2 < ∞;∞，否則.

設(Ω，F，P)為概率空間，(E，ε)為拓撲可測空間， (FZ) 為F的一族半序上升的子σ-域，對?坌Z = (s，t)∈R，令Fs，+∞ = Fs1 = Fz1 =Fst ，F+∞，t = Ft2 = Fz2 =Fst，Fz* = Fz1 ∨Fz2，F∞* = F∞ =Fz ，X = {xz，z∈R}是定義在(Ω，F，P)上取值于(E，ε)中的隨機過程.

2. 寬過去強Markov過程

定義在Ω上取值于R的關于(Fz*)停點τ以及Fτ*定義參看[4]，由于(xz)僅定義于z∈R，故以后對Fz*停點τ，提到xτ時，均限于(τ < ∞).

令σ(xτ) = σ{(xτ∈?祝)(τ < ∞)∶?祝∈ε}.

三點轉移函數P(u，v，s，t，x，y，z，B)的定義及具有三點轉移函數的寬過去Markov過程的定義參看[5]中定義1，2.對P(u，v，s，t，x，y，z，B)補充定義:

P1(u，v，s，t，x，y，z，B) =

P(u，v，s，t，x，y，z，B)，當u < s，v < t時;IB(y)，當u = s，v < t，x = z時;IB(z)，當u < s，v = t，x = y時;IB(x)，當u = s，v < t，x = y = z時.

則X為具有三點轉移函數的寬過去Markov過程的充要條件為

E[f(xst)|fuv*] = P1(u，v，s，t，xuv，xut，xut，xsv，f)，其中u，v，s，t∈R+，f∈bε，且s ≥ u，t ≥ v.

定義2.1 設X={xz，z∈R}為寬過去Markov過程，若對任意(Fz*)停點τ，任意Ω→R的Fτ*可測映射η，且η ≥ τ，有

(1) xτ ，xτ #8226;η，xη #8226;τ∈F;

(2)E[f(xη)I(η <∞)|F] = E[f(xη)I(η <∞)| τ，η，xτ，xτ #8226;η，xη #8226;τ].

對?坌f∈bε成立，則稱X為寬過去強Markov過程.

引理2.1 設F(u，v，s，t，x，y，z)為R1 × E3→R中的函數.若對固定的(u，v，s，t)，F為(x，y，z)可測，對固定的(x，y，z)，F關于(u，v，s，t)右連續，則F為B(R1) × ε3可測.其中R1 = {(u，v，s，t)∈R∶u ≤ s，v ≤ t}.

引理2.2 設τ為(F)停點，X為寬過去循序可測，則對于任何F可測的函數η，都有xτ ，xτ #8226;η，xη #8226;τ為(F)可測.若又η ≥ τ，則η，τ#8226;η，η#8226;τ均為(F)停點，且η，τ#8226;η，η#8226;τ為F可測.

證明類似于[1]中定理3.1.

定理2.1 設狀態空間(E，ε)為距離可測空間，右連續寬過去Markov過程X={xz，z∈R} 的三點轉移函數P1(u，v，s，t，x，y，z，B)滿足:

對任意固定的連續函數f∈bε，F(u，v，s，t，x，y，z) P1(u，v，s，t，x，y，z，f)有如下連續性，當x→x0，y→y0，z→z0，u→u0，v→v0，s→s0，t→t0時，有

F(u，v，s，t，x，y，z)→F(u0，v0，s0，t0，x0，y0，z0).

則X是寬過去強Markov過程.

證明 因為X適應右連續，所以X寬過去循序可測，由引理2.2可知X滿足定義2.1中的條件(1).

設τ = (τ1，τ2)為F停點，η = (η1，η2)為F可測，且 η ≥ τ，f為任一有界連續函數，要證

E[f(xη)I(η <∞)|F] = E[f(xη)I(η <∞)| τ，η，xτ，xτ #8226;η，xη#8226;τ].

(2.1)

由引理2.1只要證

E[f(xη)I(η <∞)|F] = P1 (τ1，τ2，η1，η2，xτ，xτ #8226;η，xη #8226;τ )I(η <∞).

(2.2)

即證對任意A∈F，有

f(xη)I(η<∞)P(dω) = P1 (τ1，τ2，η1，η2，xτ，xτ #8226;η，xη #8226;τ )#8226;I(η <∞)P(dω)(2.3)

成立，令

τ=2-n j，若≤ τi <;+∞，若τi = +∞.

η=2-n j，若≤ ηi <;+∞，若ηi = +∞.

τ= (τ，τ)，ηn =(η，η).對?坌A∈F，令

A(n，i，j，k，l) = A∩ ， ≤τ< ， ，

， ≤η< ， .

類似于[5]中定理1的證明可得(2.3)式成立，即(2.2)式對一切有界連續函數f成立.由L- 系方法可證，(2.2)式對一切?坌f∈bε 也成立.

推論2.1[6]中定義的OUP2過程滿足此強Markov性.

證明 只需證明對任意固定的有界連續函數f，P1(u，v，s，t，x，y，z，f)在定義域內關于(u，v，s，t，x，y，z)連續.但P1(u，v，s，t，x，y，z，f) =

其中H = σ2(4αβ)-1(1 - e-2α(s-u))(1 - e-2β(t-v)). 由控制收斂定理易得P1的連續性.

3. 強Markov過程的一些性質

引理3.1 設τ為F停點，則Ω上有界實值函數ξ 關于σ(xτ)可測的充要條件是存在一個定義在E上的 ε可測有界實值函數f和一個實數a，使得ξ = f(xτ)I(τ < ∞) + a.

定理3.1 設X為寬過去強Markov過程，τ為(F)有限停點，τ ≤ η1，η2，…，ηn，η1，η2，…，ηn為Ω→R的F可測映射，則對n元有界εn可測函數f，有

E[f(x ，x ，…，x )I |F] =

E[f(x ，x ，…，x )I |τ，ηi，xτ，x ，x ，

i = 1，2，…n].

證明只證n = 2，且f(x，y) = f1(x)f2(y)時，定理結論成立，其中f1，f2∈bε. 欲證定理結果，只需證

E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)|F]∈σ{τ，ηi，xτ，x ，x ，i = 1，2}?劬F2.

令A1={η1 ≤ η2}，A2={η2 < η1}，A3 = {η11 > η21≤η22}，A4 = {η11 ≤ η12，η12 > η22}.其中ηi = (ηi1，ηi2)，i = 1，2.

則E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)|F]=

E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)IA |F].

因為A1∈F?奐 F，所以(η2) 是F停點.

又因為f2(x )I(η <∞)IA = f2(x )I IA ，所以E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)IA |F] = E[f1(x )I(η<∞)IA E(f2(x )I |F)|F].

而IA E[f2(x )I |F] = IA E[f2(x )I |τ#8226;η1，η2，x ，x ，x ].因為τ#8226;η1，η2，x ，x ，x ∈F2∩F，所以只需要證明

E[f1(x )I(η<∞)IA η|F]∈F2.(3.1)

其中η∈σ{x }，且η有界.由引理3.1，η可表示為η = g(x )Ix+ a.

因為IA E(η|F) = IA E[g(x )Ix |F]+aIA= aIA E[g(x )Ix |η1#8226;τ，η2#8226;η1，x ，xη ，x ，x ] + aIA .

而η1#8226;τ，η2#8226;η1，x ，x ∈F2∩F，所以欲證(3.1)式，只需證明E[f1(x )I(η<∞)I(η <∞)IA ξ|F]∈F2，其中ξ∈σ(x )，ξ有界. 再利用引理3.1和強Markov性的定義立得上式結果成立.同理可證

E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)IA |F]∈F2，(i = 2，3，4)

故E[f1(x )f2(x )I(η<∞)I(η <∞)|F]∈F2.

推論3.1 若X為寬過去強Markov過程，則對任一有限F停點τ，σ{xη，η∶τ ≤η，η∈F}與F關于F3?劬σ{τ，η，xτ，xτ，x ，x τ≤η，η∈F }條件獨立.

證明 對任意固定的n，任n個Ω→R的F可測映射η1n，η2n，… ，ηnn≥τ.由定理3.1，σ{x ，η∶i = 1，2，…，n}與F關于F3′?劬σ{τ，ηin，xτ，x ，x ∶i =1，2，…，n}條件獨立.因為F3′?奐F3?奐F所以σ{x ，η∶i = 1，2，…，n}與F關于F3條件獨立.

令C = {A∈σ(x ，η1n，…，x ，ηnn)∶n是自然數，τ≤η1n，ηin∈F，i = 1，2，…，n}，顯然C是一個π系，且σ(C) = σ{xη，η∶τ ≤η，η∈F}，故結論成立.

引理3.2 設τ為(F)有限停點，X為寬過去循序可測，則對于任何的F可測映射η≯τ都有xη∈F.

證明類似于[1]中定理3.1.

定理3.2 設τ1，τ2，…，τn為(F)有限停點，τi = (τi1，τi2)，(i = 1，2，…，n)，τ11 ≤τ21≤…≤τn1，τ12≥τ32≥…≥τn2，且τi ∈ F，λ?劬 τi，∞>η≥τ1 ∨τ2，η∈ F，τ0，τn+1 分別為η在λ上的水平和垂直投影，X 為寬過去強Markov過程且寬過去循序可測.則

E[F(xη) F] = E[f(xη)|τ0，τ1，τ1∨τ2，τ2，…，τn，τn+1，x ，x ，x ，…，x ，x ]，其中f∈bε.

證明 令ηi = η#8226;τi，i=1，2，…，n-1欲證定理結論，只需證E[F(xη) F] ∈ σ{τ0，τ1，τ1∨τ2，τ2，…，τn，τn+1，x ，x ，x ，…，x ，x }?劬F4.

因為E[f(xη) F] = E[f(f(xη)|F]F] =

E[E(f(xη)|τ1，η，x ，x ，x ) F]，而τ1，η，x ，x ∈ F， 所以只需證明E[g(x )] F∈F4，而上式顯然成立，從而完成了定理的證明.

【參考文獻】

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注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”