挖掘錯題錯解的教育功能 培養學生的批判性思維

有些題目在解完之后，感覺萬無一失，盡善盡美，而結果往往是錯的. 反思一下，錯的是那么的巧妙，讓人回味無窮. 有些題目，做也做了，答案也對了，而反思一下，題目卻是錯的，錯的是讓人那么的意外. 在教學中，如果遇到這類問題，我們千萬不能輕易放棄，因為越是這類題目，學生越是感到新奇，越想知道其所以然. 若能充分挖掘這類問題的教育功能，對于調動學生的學習積極性，培養他們思維的嚴密性和批判性，將起到十分有效的作用.

一#65380;題目本身錯誤

例1 已知:|a| = 4，|b| = 3，且(a + 2b)#8226;(a - 3b) = 0，求a#8226;b.

解析 此題是常規題，由(a + 2b)#8226;(a - 3b) = 0，得a#8226;b = |a|2#8226;|b|2 - 6|b|2 = 16 - 54 = -38. 至此結束，應該說沒有問題，但如果由向量積的定義立即可得a#8226;b = |a|#8226;|b| #8226;cos∈[-12，12]，這就出現了矛盾. 本題出錯主要在于出題者沒有考慮到-|a|#8226;|b| ≤ a#8226;b ≤ |a|#8226;|b|這一隱含條件，從而導致題目出錯.

例2 若α，β為銳角，sin α =，cos(α + β) =，求cos β.

解析 本題思路很清楚，只要把未知角轉化為已知角即可.

由題意α∈0， ，α + β∈(0，π).

∵ cos(α + β)= ，

∴ α + β∈0， ，

∴ cos α =，sin(α + β) = ，

故cos β = cos(α + β - α) = cos(α + β)cos α + sin(α + β)#8226;sin α =#8226;+#8226;=.

這是習題課上的遇到的一個題目，到此似乎已大功告成，但立即有學生站起來質疑，若把sin β 求出來會怎么樣呢?

采用同樣方法可求得sin β = < 0，這與β為銳角相矛盾. 所以本題大前提α，β為銳角是錯的，這是出題者沒有想到的. 此時可引導學生反思此題為何會出現這種情況，如何對它進行修改等，學生群情振奮，收到了非常好的效果.

二#65380;解答出錯

例3 已知曲線y =x3 +，則過點P(2，4)的切線方程是.

當時出題者提供的答案為:y - 4x + 4 = 0.

這個答案是值得商榷的!

雖然點P(2，4)在曲線y =x3 +上，但曲線y =x3 +上過點P(2，4)的切線與曲線y =x3 +上點P(2，4)處的切線是有區別的:過點P(2，4)的切線中，點P(2，4)不一定是切點;在點P(2，4)處的切線中，點P(2，4)是切點.

事實上，設曲線y =x3 +與過點P(2，4)的切線相切于點Ax0， x03 +，則k = y′|= x02，切線方程為y -x03 + = x02(x - x0)，因點P(2，4)在切線上，所以4 -x03 + = x02#8226;(x - x0)，可得x0 = 2或-1，故所求切線的方程為y - x - 2 = 0或-4x + 4 = 0.

例4 南通四縣市2007年2月質量調研試卷上有這樣一道題:已知數列{an}是由正數組成的等比數列， Sn是其前n的和.

(1) 當首項 a1 = 2，公比q =時，對于任意的正整數k及正數c(c ≤ 3)都有< 2成立，求c的取值范圍.

(2) 是否存在正常數m，使得lg(Sn - m) + lg(Sn+2 - m) = 2lg(Sn+1 - m)成立?并證明你的結論.

出卷者提供解法如下:

(1) 由Sk = 41 -，得Sk+1 =Sk + 2，代入< 2. 得c > Sk或者c

(2)略.

上述解法看起來無可挑剔，但本題還可以有另一種常規的解法，即設法去分母，得到的結果大相徑庭. 如下:

由上知:Sk = 41 -，∴S1 = 2，S2 = 3，由單調性知當k ≥ 3時，Sk > 3.

(1) 當k = 1時，由< 2得< 2，

即c > 2或c < 1.

(2) 當k = 2時，由< 2得c > 3或c <.

(3) 當k > 2時，∵由< 2得Sk+1 - c <2(Sk - c)，將Sk+1 =Sk + 2代入得c < Sk - 2.

又當k > 2時，Sk ≥ S3 =，∴ Sk - 2 ≥，

∴ c

綜上及0 < c ≤ 3得0

那么為什么會出現這樣的情況呢?通過仔細比較分析后，我們發現問題在于出題者對c > Sk或c

k = 1時由c > Sk或者 c 2或c > 1;

k = 2時由c > Sk或者 c 3或c <;

k = 3時由c > Sk或者c 或c <.

……

最后取以上各個范圍的交集.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”