由一道題想開去

增加一些數學題的開放性，引導學生由此想開去，對于培養學生數學思維的靈活性和廣闊性是十分有益的.下面以一例示之.

有這樣一道幾何題:如圖1，在△ABC中，AB = AC，P為BC上一點，PD，PE為點P到兩腰的距離，求證:PD + PE等于一腰上的高BF，即PD + PE = BF.(命題1)

此題可簡證如下: 過P作PA′∥AC，交AB于A′， 交BF于F ′， 容易證得BF ′= PD及F′F = PE，(1) 于是有PD + PE = BF.

證明此題有另一種思路: 在圖2中連接PA，便有

S△PAB + S△PAC = S△ABC. (2)

即× AB × PD +× AC × PE = × AC × BF，于是有

PD + PE = BF.(3)

上面命題1的證法由(1)到(2)是思路上的拓展.由于利用“面積為定值” 建立了相等關系，所以在推證時擺脫了分割線段BF(如圖1)，再證對應部分相等所帶來的麻煩.

我們可將該題的條件適當拓展——點P在底邊BC的延長線上(如圖3)，上面結論是否還成立呢? 答案是肯定的. 只是當點P在BC的延長線上，我們將點P到腰AC的距離PE看成負值，此時的S△PAC也為負值.

在證明的思考上還是利用“面積為定值”建立相等關系:S△PAB + S△PAC = S△ABC .

即× AB × PD +× AC × PE = × AC × BF.

顯然有 PD + PE = BF.(4) (命題2)

由于負值的引入，(3)和(4)在表達形式上得到了統一.

我們將該題的條件再作拓展——點P在腰AB上，此時點P到另一腰AC及到底邊BC的距離之和PE + PD又將如何?(圖4)

顯然，當點P向點A移動時，PE + PD的值就越來越接近底邊BC上的高AH;當點P向點B移動時，PE+ PD的值就越來越接近腰AC上的高BF.因此， PE + PD不是定值.

我們連接PC，有 × BC × PD + × AC × PE = × AC × BF.

于是有× PD + PE = BF. (5)

這里 是底與腰的比. 特別的，當BC = AC時，即△ABC為等邊三角形時，其邊上任意一點到另兩邊距離之和等于這個三角形的高. 其實，對于等邊三角形還有如下命題:

等邊三角形內任意一點P到三邊距離之和PD + PE + PF等于這個三角形的高AH.(圖5)(命題3)

證明時仍襲前面的辦法:

S△PAB+ S△PAC + S△PBC = S△ABC.

即× AB × PD + × AC × PF + × BC × PE = × BC × AH.

于是有PD + PE + PF = AH.(6)

這時，我們可能還會考慮:當點

P在正三角形外會怎樣?

我們可以把命題3推至三維空間:正四面體A-BCD內任意一點P到四個面的距離之和PQ + PR + PS + PT等于這個四面體的高AH.(圖6)(命題4)

證明時仍襲前面思考，但這里是“體積為定值”: 以P為頂點，以4個面為底面的4個三棱錐的體積之和等于這個正四面體的體積.

即VP - ABC + VP - ACD + VP - ADB + VP - BCD = VA - BCD .

設正四面體一個面的面積為a ，則有

× PQ × a +× PR × a + × PS × a + × PT × a = × AH × a.

于是可得結論:PQ + PR + PS + PT = AH.

從命題1到命題3，再到命題4，研究的對象不僅有位置的#65380;數量的變化和空間上的拓展，在證法的思考上也體現了從“線”到“面”再到“體”的推進.

這時，我們可能還會考慮:點P在正四面體的一個面上或在正四面體外會怎樣? 對于其他正多面體又會怎樣? 在如此想開去的過程中，我們就有了很多問題或猜想以及解決問題的辦法(盡管用這些辦法解決這些問題或猜想不一定都能得到滿意的答案)，這正是數學教學要達到的目的之一.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內容請以PDF格式閱讀原文#65377;”