拓寬思維，巧求通項(xiàng)

數(shù)列的項(xiàng)體現(xiàn)了數(shù)列的性質(zhì)，項(xiàng)是研究數(shù)列的基礎(chǔ)，通項(xiàng)公式是項(xiàng)的一種重要的表現(xiàn)形式，有了通項(xiàng)公式就可直觀、運(yùn)動(dòng)地研究數(shù)列。下面介紹幾種求非等差、等比數(shù)列通項(xiàng)的方法。

方案一：構(gòu)造差比，巧用定義

例1.數(shù)列{a }中，a =1，a =2a +3，求a 。

分析：由遞推關(guān)系式知

a +3=2（a +3）

又a +3=4≠0

∴{a +3}是以a +3=4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列

即a +3=（a +3）#8226;2

∴a =2 -3

再如，數(shù)列{a }中a =1，a =2a +2 ，求a 。

分析：此題可化為 = +2，則{ }是以 為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列。

方案二：創(chuàng)造條件，疊加疊乘

例2.在正數(shù){a }中，a =1，（n+1）a-na+a a =0，求a 。

分析：由題知［（n+1）a -na ）］（a +a ）=0

又a ＞0

∴ =

= （1）

= （2）

……

= （n-1）

（1）×（2）×...×（n-1）得 =

又a =1

∴a =

再如：數(shù)列a 中，滿足a =1，a =a +2 ，求a 。

分析：此題可通過(guò)疊加的形式實(shí)現(xiàn)。

方案三：待定系數(shù)，回歸定義

例3.在數(shù)列{a }中，a =1，a =2a +1+3n+3 ，求a 。

分析：由題設(shè)a +a+b（n+1）+c#8226;3 =2（a +a+bn+c#8226;3 ）

則a =2a +a-b+bn-c#8226;3

∴a-b=1b=3-c=1

∴a=4b=3c=-1

即a +4+3（n+1）-3 =2（a +4+3n-3 ）

又a +4+3-3=5≠0

∴{a +4+3n-3 }是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列

∴a +4+3n-3 =5×2

∴a =5#8226;2 +3 -3n-4

方案四：運(yùn)用公式里，注意條件

例4.在數(shù)列{a }中，a =1，，a = S ，求a 。

分析：當(dāng)n=1時(shí)，a = ，S =

當(dāng)n≥2時(shí)a = S

∴a -a = a

∴ = ☆

注：☆成立條件為n≥2

∴a =a #8226;（ ） = ×（ ）

綜上，a =1n=1 ×（ ）n≥2

方案五：巧用關(guān)系，遞推迭代

例5.數(shù)列{a }中滿足a -（α+β）a +αβa =0，α≠β≠0，且a =a =1，求a 。

分析：由題知

①a -αa =β（a -αa ）=β （a -a -3）=…=β （a -αa ）=（1-α）β

②a -βa =α（a -βa ）=α （a -a -3）=…=α （a -βa ）=（1-β）α

①×β-②×α得：

α =

方案六：類比結(jié)構(gòu)，類比結(jié)論

例6.在數(shù)列{a }中，a =2，a = ，則a = 。

分析：類比函數(shù)f（x）=tan（x+ ）= ，而f（x）周期π是 的4倍。

猜測(cè)：a 是周期為4的周期數(shù)列。

證明：a = = =-

∴a =- =a

∴a =a =2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”