充分利用課本例題搞好探究教學

《點到直線的距離》是全日制普通高級中學教科書（必修#8226;人民教育出版社）第二冊（上）“§7.3兩條直線的位置關系”的第四節(jié)課，主要內容是點到直線的距離公式的推導過程和公式應用。本節(jié)對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖過渡到高中解析幾何的定量計算，其學習平臺是學生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關系等相關知識。對本節(jié)的研究，為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎，具有承上啟下的重要作用。

由探索點P（2，0）到直線x-y=0的距離，推廣到探索點P（x ，y ）到直線Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距離的過程中，使學生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數學研究方法，并使學生在經歷反饋練習的過程中，進一步提高靈活運用公式，解決問題的能力。

問題1：如何求點P（2，0）到直線l：x-y=0的距離？

補充的問題1，由于點和直線的位置非常特殊，所以學生容易回答，應該鼓勵學生利用多種解法解決本問。

方法1：利用定義

由于本課之前，學生已掌握了兩條直線交點的求法等知識，所以容易通過定義，將點P到直線l的距離，轉化為點P、垂足Q兩點之間距離來解決。

解：過點P作l的垂線PQ，設垂足為Q。

∵l：x-y=0，P（2，0）

∴PQ：y=-（x-2）

∴y=xy=2-x

∴x=2-x

∴x=1y=1

∴Q（1，1）

∴|PQ|= =

方法2：利用直角三角形的面積公式

結合圖形，學生也能利用面積構造法來解決，這一方法的難點是如何添作輔助線。教學時給予提示：由垂直條件，可以聯(lián)想到三角形的高或直角三角形等相關知識。

解：過點P作l、x的垂線PQ、PR，交點為點Q、R。

在Rt△OPR中，

|OR|#8226;|QP|=|OP|#8226;|PR|

∴2 ×|QP|=2×2

∴|QP|=

方法3：利用三角函數

根據定義作出圖象后，由于涉及Rt△OPQ和直線傾斜45°角，學生容易聯(lián)想利用三角函數知識解決問題。

解：過點P作l的垂線PQ，垂足為Q。

∵l：x-y=0

∴∠QOP=45°

∵P（2，0）

∴|OP|=2

∴|PQ|=|OP|#8226;sin45°=2× =

方法4：利用函數的思想

在初中，學生已初步認識了點到直線的距離的幾何特征：連接直線外一點與直線上任意點，所得線段中垂線段最短。以此為背景，學生可能通過函數的思想來解決。

解：設直線l上的點Q（x ，y ），則d=（|QP|）min。

∵x-y=0

∴x -y =0

∴|QP|= =

= ≥

當x =1時，取得等號，即此時點Q（1，1）。

對于問題1，學生可能提供的解法不完全，我們要引導學生補充完整。改變點P和直線l的位置，引出補充問題2。

問題2：如何求點P（4，2）到直線2x-y+2=0的距離？

組織學生類比問題1，獨立思考本問的解決方法。

在課堂上只要求學生說明解法思路，而不要求解題過程。

在解決問題1、2的基礎上，將點和直線的位置推廣到一般情況，進一步提出問題3。

問題3：如何求點P（x ，y ）到直線Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距離？

方法1：利用定義的推導方法

通過前面兩個補充問題，學生已經積累了一些求點到直線距離的經驗和方法，學生可能會類比考慮利用定義，將點P到直線l的距離轉化為點P與垂足Q，兩點之間距離來處理。這種方法雖然思路自然，但運算較繁瑣，所以只要求學生結合教材，說明算法步驟、明確算法框圖，而不要求推導過程。盡管在前面的學習中，學生已掌握了兩條直線垂直的充要條件，但學生仍然可能忽略A≠0，這一前提條件，而直接得到與l垂直直線的斜率為 。我們要加以糾正，并強調對于A=0或B=0的特殊情況，可以結合圖象直接得出結論，所以在算法中暫不考慮。

方法2：利用直角三角形的面積公式的的推導方法

學生也可能類比補充問題1、2中，添作輔助線的方式，構造直角三角形，通過面積構造法解決問題。對于這種方法，由于教材已經給出了推導過程，所以學生可以只說明算法步驟。與傳統(tǒng)教材相比，新教材更關注學生思維能力的培養(yǎng)，淡化形式、注重實質。由于新教材刪減了一些同角三角函數的基本關系式，所以舊教材利用三角函數的方法推導公式就顯得繁雜，教科書選擇的借助直角三角形的面積公式推導公式的方法，簡潔、明了。所以，可以讓學生根據算法框圖，自學教材的推導過程，培養(yǎng)學生的數學閱讀能力。在此過程中，應該提醒學生注意Rt△PRS三邊邊長的求法。

方法3：利用平面向量的推導方法

由于在前面直線方程的學習中，教材引入了直線方向向量的概念，并運用了向量的有關知識討論直線的一些問題，所以部分思維能力較強的學生可能會提出利用向量知識推導公式，我們要給予肯定。盡管這種方法具有一定難度，但根據學生思維能力較強的特點，可以先引導學生復習向量有關知識，使學生明確向量數量積的兩種表示方式及其幾何意義，再結合圖像，師生互動，共同討論得出，利用向量數量積推導公式的算法步驟、算法框圖。在這一過程中，學生可能會遇到無法表示與直線垂直的向量 的坐標的困難，我們可給予提示：可以借助于向量 與直線的方向向量互相垂直的充要條件來解決。對于這種方法的具體推導過程，要求學生課后在自學教材P55閱讀材料“向量與直線”的基礎上，作為思考作業(yè)完成。這種利用向量的算法，為今后在立體幾何中利用這種方法得到點到平面的距離公式奠定了基礎。

點到直線的距離公式：點P（x ，y ）到直線Ax+By+C=0（其中A、B不同時為0）的距離d= 。

在學生通過多種方法推導得出公式后，引導學生根據公式的形式特點，記憶公式。同時強調：當A=0或B=0時，公式仍然適用，也可以結合圖像直接求出結論。

在此基礎上，要求學生利用公式計算補充問題1、2，并與前面的計算結果進行比較，前后呼應，使學生體會運用公式計算的簡便性。點到直線的距離公式的應用是本課的一個重點，我們應強化學生對公式的記憶和運用，以達到強化訓練的目的。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”