“整式”學習七問

1.學習單項式與多項式的概念時要注意些什么？

⑴單項式在形式上不一定非是數字與字母的積，單獨一個數字或字母也是單項式，如：-1、a、 等。

⑵多項式是幾個單項式的和，單項式可看作是多項式的特例，如單項式x 可以看作是二次三項式ax+ bx + c當a=1，b=0，c=0時的特例。

⑶單項式（或多項式中某一項）的系數和次數不是絕對的。如ax ，若看作字母a與x的單項式，則這個單項式的系數為1，次數為3；若把字母a看做系數，則此單項式的次數就是2了。我們要養成用語言“關于××的×次式”描述單項式的良好習慣。

⑷單項式和多項式統稱整式。其中的“統稱”是統一起來的意思，不排斥可以把單項式當作多項式的特例。由于單項式是多項式的特例，我們也可以說“整式就是多項式”。三概念之間的關系可用圖表示。（如圖）

2.整式加減法有那些特點？

⑴整式加（或減）的和（或差）仍為整式。

⑵和式（或差式）的次數不大于參加運算的整式的最高次數。

⑶和式（或差式）的項數不多于參加運算的整式的項數之和。如果有同類項，合并以后的項數小于各整式項數之和。

⑷減法可以轉化為加法：減去一個整式，可以加上與這個整式相反的式子。

3.整式能否用豎式進行加減運算？

能。用豎式進行加減運算時，要先將兩個（也可以多個）整式都按某一個字母的降冪排列，其中缺少的項用0補上。寫豎式時只需寫出降冪排列后各項的系數，不必寫出字母及字母的指數。然后將同次冪的各項系數上下對齊，分別相加減。例如，用豎式計算3x+2x-5+（4x-x+6）-（x +1）列豎式為：

4.去括號的依據是什么？

課本中去括號的法則是從實例中歸納出來的。我們可以用乘法的分配律來理解去括號的法則，例如：

去括號的依據，就是乘法對加法的分配律。添括號亦如此。

5.如何看待乘法公式？

乘法公式是一些常見的、特殊類型的多項式乘法。我們把它們的結果記住并靈活運用，可以使許多常見的多項式乘法算起來更加簡便。課本上提出的乘法公式有：

平方差公式（a + b）（a-b）= a-b ；完全平方公式（a ± b） = a±2ab + b。如果學生有余力且感興趣的話，記住以下幾個乘法公式可以給今后的學習帶來更大的方便：

立方和（差）公式?搖?搖（a±b）(a ±ab+b )=a +b ；

完全立方公式?搖?搖（a±b） =a±3a b+3ab ±b；

三項和平方公式?搖?搖（a + b + c）= a+ b+ c+ 2ab + 2bc + 2ac。

乘法公式既可以正著用，又可以逆著用，逆著用就是因式分解。

6.因式分解有哪些方法？

課本上主要介紹了提取公因式法、公式法、分組分解法和形如x+（p + q）x + pq 式子的因式分解法，還有一些方法值得注意，下面介紹幾種：

（1）拆項添項法。例如：

技巧：把其中x拆成2x和-x兩項，再分組。一般只要使用拆項添項法，還得配合使用分組分解法、提取公因式法等。又如：

（2）換元法。例如：

技巧：化簡時，要注意兩兩相乘時的合理組合，以當分組乘完之后能創設出共有式子才能進而換元。

（3）配方法。例如：

二次三項式的因式分解還常用以下兩種方法：

（4）十字相乘法。

如上題：將二次項的系數8分解成4×2，再把4和2豎排在8的下面；常數項-15分解成5×（-3），5和-3也豎排在15的下面，形成兩行兩列的樣子，交叉相乘再相加恰好等于二次項的系數，于是有：8x-2x -15 =（4x +5）

由于二次項的系數、常數項有多種分解形式（如：在該題中 8 =1×8 = 8×1 = 2×4 = 4×2；15= 1×15 = 15×

1 = 3×5 = 5×3），可能在做題時需要多次嘗試“十字相乘”才能成功。

（5）求根公式法。

一般而言，如果x1，x2是方程ax +bx+c = 0（a≠0）的兩個根，那么ax +bx+c = a（x-x ）（x-x ）。例：分解4x +8x+1。

解法：方程4x +8x+1=0的兩個根是 x=

比較兩式的系數得

7. 因式分解的方法、結果唯一嗎？

因式分解的方法不唯一。

因式分解的結果，在一定數集內，如果將只差一個數字因子的因式看作同一因子的話，如：a- 與 a-2= (a- )看作同一因式，那么結果是唯一的。因式分解的結果在不同的數集內不唯一。如x-1在有理數集內分解為x-1 =（x + 4）（x +2）（x -2），而在實數集內可以分解為x -1 =（x + 4）（x +2）（x + ）（x - ）。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”