微分方程在經濟領域的應用

摘 要：本文敘述了微分方程在經濟領域的一些應用，運用數學與經濟學之間的密切關系，將經濟問題轉化為數學問題，并以實例說明了這些微分方程在經濟管理中所起的重要作用。

關鍵詞：微分方程 應用 數學理論

1.數學在經濟問題研究中的作用

眾所周知，數學的應用遍及所有的科技領域，也深入到人們的日常生活。如何將抽象的數學理論應用到具體的科學實踐中去，以使數學這門古老、嚴謹、深刻的經典科學和現代數學理論找到嶄新的應用市場是至關重要的。

實踐證明，用數學方法對經濟問題所作的定性分析和定量分析是嚴謹的、慎密的、可信的。例如，消費函數理論表明，某一商品的需求量(Q)取決于它的價格(P)，其他商品的價格(P)，消費者的收入(Y)，消費傾向(T)，以及一個隨機因素u(隨機因素包括社會保有量、政策的變化、人口的遷移等多方面因素)，此時運用數學手段則可將其抽象為公式：

Q=b +b P+b P +b Y+b T+u(b ，b ，b ，b ，b ，u為未知量)，只要對上述公式中包含的已知量作六次觀測，便可確定b ，b ，b ，b ，b ，u的值。盡管其值并不一定十分準確，但還是科學的，有效的。

2. 微分方程在經濟領域中的一些應用實例

例1：設有某種新產品要推向市場，t時刻的銷量為x(t)，由于產品性能良好，每個產品都是一個宣傳品。因此，t時刻產品銷量的增長率 與x(t)成正比。同時，考慮到產品銷售存在一定的市場容量N，統計表明， 與尚未購買該產品的顧客潛在的銷售數量N-x(t)也成正比。于是有 =kx(N-x)?搖(3)，其中常數K＞0，為比例系數。分離變量，積分，可以解得x(t)= ?搖(4)，方程(3)稱為邏輯斯諦模型(Logistic)，通解表達式(4)稱為邏輯斯諦曲線。

由 = 以及 = ，當0＜x(t)＜N時，則有 ＞0，即銷量x(t)單調增加。當Ce -1=0時，即x(t)= 時， =0，當x(t)＞ 時， ＜0，當x(t)＜ 時， ＞0，即當銷量達到最大需求量N的一半時，產品最為暢銷；當銷量不足N一半時，銷售速度不斷增大；當銷量超過一半時，銷量速度逐漸減少.許多經濟學家調查表明，許多產品的銷售曲線與Logistic曲線十分接近。根據對曲線性狀的分析，分析家認為，在新產品推出的初期應采用小批量生產并加強廣告宣傳，而在產品用戶達到20%到80%期間，產品應大批量生產；在產品用戶超過80%時，應適時轉產，可以達到最大的經濟效益。

例2：某地根據不同時期、不同家庭的消費資料，得到該地的一種經濟作物的綜合需求函數為Y=0.4P X ，其中P為作物每斤的價格，X為人均月收入，Y為人均月需求量。

由Y=0.4P X 可知該式與經濟管理理論是相符的，即為一減函數。當價格上升時，需求量下降，當收入增加時，需求量上升。

由Y=0.4P X 知，若該地人月均收入50元，秋菜每筆1.30元，則可預測人均月需求量為Y=0.4×1.3 ×50 =7.61。利用此結果，可以在調節作物種植時做出合理的安排。由Y=0.4P X 可得到需求量關于價格的偏彈性為σ = × =0.4×(-0.7)P X=-0.7，同理可得：需求關于收入的偏彈性為σ =0.8。σ 表明當價格增加1%時，需求減少0.7%，σ 表明當人均收入增加1%時，需求量增加0.8%。若政府為了讓菜農增加收入，決定經濟作物增加39%，同時，又不使消費者受太大的損失，可決定每月補貼25元，根據公式f(x，p)=0.4p x ，由全微分公式得：dy=f′ (x，p)dx+f′ (x，p)dp，近似地有：△y≈ dx+ dp=f(x，p)（ △x- △p)，當P=1.30，X=50時，由于△x=25，△p=0.39，則△y≈7.61( ×25- )=-1.3，此計算結果表明，在這種決策下，估計每月該經濟作物人需求量減少1.3斤。所以，為了保持需求量不減少，在提價39%的前提下，通過計算可知大約人均每月應補貼1.30元方能達到目的。

例3：某市工農業總產值y隨時間t的變化率為：-0.002y+0.00203，假定y(0)=0，求該市工農業總產值y與時間t的函數關系。

解：由題意，有 =-0.002y+0.00203(1)，對應的齊次方程為： =-0.002y，分離變量得 dy=-0.002dt，積分得1ny=-0.002t+C ，y=ce ，用常數變易法，令y=c(t)e ，有 =c′(t)e -c(t)0.002e ，代入（1）得c′(t)=0.00203e ，積分得c(t)= e ，∴ 方程（1）通解為y= +ce =1.015+ce ，∴y(0)=0，∴c=-1.015，故所求關系式為y=1.015-1.015 e 。

參考文獻：

［l］楊榮，鄭文瑞，王本玉.概率論與數理統計［M］.北京：清華人學出版社，2005.

［2］同濟大學應用數學系.工程數學——概率統計簡明教程［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］蔡芷.財會數學［M］.上海：知識出版社，1982.12.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”