關于導數應用的復習備考

導數自從下放高中后，使中學數學和高考備考發生深刻的變革，為學生以導數為工具研究函數的變化率，解決函數單調性及極值問題提供了更有效、更簡便的捷徑，體現了中學數學需要不斷知識內容更新、與時俱進。下面筆者從考點內容及近年考率分析，以提高學生的解題能力。

一、幾種類型的解法

1. 求函數的單調性與最值（極值）

求函數的單調性增減區間的方法是：

例1已知函數f（x）=-x +6x +9x+a；（1）求f（x）的單調減區間；（2）若在區間［-2，2］上最大值為20，求它在該區間上的最小值。（05年北京高考）

解：∵f（-2）=2+a，f（2）=22+a， ∴f（2）>f(-2)。

因為在(-1，3)上f′(x)>0，所以f(x)在［-1，2］單調遞增，又f(x)在［-2，1］上單調遞減，因此f(2)和f(-1)分別是在區間［-2，2］上單調遞減，因此f(2)和f(-1)分別是在區間［-2，2］上的最大值和最小值。

于是22+a=20，解得a=-2

故f（x）=-x +6x +9x-2，f(-1)=-7，f(x)在區間［-2，2］上的最小值為-7。

點評:本題由淺顯走向深奧，涉及求導，分出單調區間，在區間找最值。

變形題:設x=3是函數f(x)=(x +ax+b)e -x(x∈R)的一個極值點，求a與b的關系式(用a表示b)，并求f(x)的單調區間。(06年湖北高考)

(本題涉及可導函數在某一點取極值的條件，答案:b=-2a-3；當a<-4時，f(x)在(-∞，3］上為減函數，在［3，-a-1］上為增函數，在［-a-1，+∞)上減函數；當a>-4時，f(x)在(-∞，-a-1］上為減函數，在［-a-1，3］上為增函數，在［3，+∞)上減函數。

2. 導數的幾何意義

在某一點切線的斜率或在某一時刻的瞬時速度，就是該點或該時對應的導數，高考常結合函數f（x）在x 處的導數f′(x )是曲線y=f(x)在點(x ，f(x ))處切線的斜率來考查，涉及求切線方程、面積等。

例2設t≠0，點P（t，0）是函數f（x）=x +ax與g（x）=bx +c的圖像的一個公共點，兩函數的圖像在P點處有相同的切線，用t表示a、b、c。（05年湖南高考）

解：因為函數f（x）、g（x）的圖象都過點（t，0），所以f（t）=0，即t +at=0，因為t≠0，所以a=-t 。

又g（t）=0，即bt +c=0，所以c=ab。

所以3t +a=2bt，將a=-t 代入得b=t，因此c=ab=-t ，故a=-t ，b=t，c=-t 。

點評：以曲線為載體，與其它數學分支融合為一體，運用廣泛。

二、2008年高考命題在導數部分趨勢及備考建議

導數這一章仍將是2008年高考重點內容之一，重點將在求導和導數應用，若與不等式、數列有關，以及關于離散型變量的計論，作為解答題多為綜合題，為中檔題或以上的難度。若是選擇題、填空題多為中檔題或以下難度，涉及求導和導數幾何意義、物理意義，以及導數的定義等知識點的應用。

復習中要深入理解和掌握導數的定義、法則及求導公式，復合函數的求導法則等方法求導，掌握利用可導函數判斷函數單調性的基本方法，掌握利用可導函數求函數極值的基本方法，掌握求和在閉區間連續的函數的最值的基本方法，要準確理解利用導數定義求導，區分極值和最值兩個概念，從圖象上認識f（x）與f′（x）之間的關系，會利用導數的幾何意義和物理意義，關鍵要提高知識熟練程度，從而加強理解。

導數作為數學運算工具，它的功能性強，高考命題空間大，小到基本概念題及基本公式運用題，大到與方程和不等式等知識相結合。利用分類討論的思想方法論證或證明函數的單調性，函數的極值和最值，是近幾年高考的熱點。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”