用構造法解題培養學生的思維能力

摘要： 高中數學的構造法是根據數學的題設和結論的特殊性，構造出新的數學命題的形式，并借助于新命題來認識與解決數學特殊問題的一種思想方法。本文作者就運用構造函數法解題培養學生的函數意識，構造方程法解題培養學生的觀察能力，以及數學構造法解題的常見模式及作用來談談自己的教學感受。

關鍵詞： 高中數學 構造法 培養 思維能力

高中數學的構造法是運用數學的基本思想，經過認真的觀察、深入的思考，構造出數學的常規模型來解決特殊的數學問題的方法。高中數學的構造法形式多樣，內容十分豐富，它把數學中抽象性問題實質化，把普遍性與現實性的問題特殊化，針對具體的問題的特點而采取相應的解決辦法，即借用一類問題的性質，來研究另一類問題的思維方法。對一些特殊的題目，在解題過程中，用常規思維方法去探求難以切入時，教師要及時啟發學生，展開豐富的聯想，拓展思維變化領域，嘗試運用構造法來解題，從而培養學生的創造意識和創新思維能力。

1.用構造函數法解題培養學生的函數意識

高中函數是高中數學的重要組成部分，函數思想是整個高中數學思想的主線，學生對函數知識比較重視，所以對函數知識成竹在胸。就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程，以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的。例如在“數列”這一章中，許多地方用到構造函數法，如等差數列的通項公式可構造成一次函數的形式，求和公式可構造成不含常數的二次函數的形式。如一個等差數列的前10項和為100，前100項的和為10，求這個數列的前110項的和，可以用二次函數來解決。等比數列的通項公式及求和公式都可以用指數型函數來處理。又如一些特殊的不等式題都可以構造成特殊的函數來解決。所以，像數列、不等式等一些題目似乎與函數毫不相干，但是根據題目的特點，巧妙地構造出一次函數、二次函數或者指數型函數，利用函數的性質能夠得到簡捷的證明。因此在解題過程中要不斷挖掘學生的潛在意識，使學生的思維不致停滯與解題思路擱淺，在教學過程中真正地啟發學生思維多變，從而達到培養學生發散思維能力的目的。

2.用構造方程法解題培養學生的觀察能力

方程方法是學生解題中最常用的方法，運用方程方法解題有助于培養學生的直觀思維能力。在解決函數問題時常常用構造方程法來解題。因為和函數有必然聯系的是方程，方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖像與x軸的交點的橫坐標，函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通過方程進行研究，要確定變化過程的某些量，往往要轉化為求出這些量滿足的方程，通過方程（組）來求得這些量。這就是方程的思想。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。遇到較為復雜的數學題時，要指導學生把難的先簡單化，構造出我們很熟悉的方程。通過數學命題的結構，直觀地觀察出題目中的內在的方程的含義，從而運用方程的思維方法來解題。教師要引導學生在解題的過程中要善于觀察、善于發現，在解題過程中不墨守成規，大膽去探求解題的最佳途徑，要大膽地發揮學生的創新思維，因為創新思維是整個創新活動的關鍵，它的基本特征是獨特的知識結構及活躍的靈感。

3.數學構造法解題常見模式及作用

在平時的教學中要注意構造法是解題思路的主線。例如構造復數來解題，揭示復數的模與幅角的幾何意義，運用它們的性質與其他數學內容的聯系，指導學生從復數的定義性質出發來解決一些數學難題。構造幾何圖形，對于一些題目，可借助幾何圖形的特點來達到解題目的，我們可以構造所需的圖形來解題，如正方形模型、長方體模型、三面角模型等。又如解決一些特殊的不等式，若是按常規的解法，必須進行分類討論，非常麻煩，觀察不等式的特點，聯想到雙曲線的定義，就能“柳暗花明又一村”：利用定義的特點，把問題的難點轉化成簡單的問題，從而使問題得以解決。構造直線方程的斜率與截距來解題，可以解決一些曲線方程中的最值問題。利用數形結合的思想，可溝通代數與幾何的關系，實現難題巧解。構造向量模式來解題，利用向量等工具巧妙地構造出所證明的不等式的幾何模型，利用向量共線條件，可解決許多用普通方法難以處理的問題對培養學生創新思維十分有益。運用構造法可以避免煩雜的分類討論、復雜的代數運算及繁瑣的證明步驟，引導學生把掌握相關知識運用到解決實際問題上來。運用構造方法解題，必須以發現知識的過程為起始點，以創造性解決問題的方法為目的，從而體現出運用構造法解題的技巧，使學生在探求過程中激發內在的創新思維。高中數學中的構造法教學從訓練學生的思維入手，把學生的思維從單一型轉變為多維型，它是一個積極、靈活地培養學生創新思維的過程，創新思維能力的培養是學生解決問題必要途徑。構造法能夠把所掌握知識廣泛地運用到解決問題上來，在解題的過程中，教師要把數學思想和方法介紹給學生，讓學生從題目中獲取思想與方法，再把數學思想與方法應用到其它題目中，在教學中不是要學生會解某一道題，也不是為解這道題而講解這種特殊方法，應給他們學會全面地數學解題的方法，這才是真正有效的教學途徑。

總之，高中數學中的構造法解題是數學中特有的思維模式，是深入分析、正確思維及豐富聯想的產物，在數學中應用構造思想求解，更有情趣，更見功力，更能體現出學生學習數學的思維能力。所以說，構造法解題，能夠真正地挖掘學生的思維潛力，培養學生的創新思維能力。