例說設元與形式化原則的關系

用字母代替數字，是中學生最先接觸到的數學思想，也是初等代數以至整個數學領域最重要的、最基礎的數學思想之一。在數學中，由字母代數、各種量、量的變化以及量與量之間進行推理與演算都是以符號形式來表示的，即進行著一整套的形式化的數學語言，這里的符號形式包括數字、字母、圖形和圖表以及各種特定的符號。廣泛地使用符號，有利于問題的陳述、推理的表達和定量的計算，大大簡化加速了思維進程。［１］初等數學中方程的思想直接與用字母代替數的思想相關，方程的思想處理常量數學與變量數學的重要思想，在解決一般數學問題中具有重要的方法論意義。因為不等式與等式有許多類似的性質，所以數、式、方程常被統一的用于解決具體問題。

在列方程或不等式解決問題的過程中，用字母代替數即為設元，包括直接設元、間接設元及輔助設元。設元直接體現了中學數學方法的形式化原則：一切數學都可由符號加以形式的表述，數學教育必須重視形式化。［２］在中學數學教學中，幫助學生善于用數學的觀點和方法去處理日常生活中的實際問題，需要加強形式化問題的教學，其中考慮通過設元將一個問題轉換成另一種表現形式是否能合適、方便地解決問題是一個重要的方面。張奠宙認為學習數學就是學習一個形式系統，并從這一側面把數學問題分為三類，這里簡單敘述為：一個形式系統內基礎操作練習性問題；把實際等問題在一個系統內形式化，并運用系統內的操作規則，兼顧符號的意義，可解決的問題；形式化了的需返回其模型或轉化成其他形式的問題。其中對第二類問題的描述實際上提供了一個解決一類實際問題的一般思路。通過設元可以把問題轉化為解方程或不等式的問題，在這一過程中需結合元所代表的實際意義，并引申為其對形式化了的問題中某些方面的限制。在中學數學中常見的列方程（組）或列不等式（組）解應用題是這類問題的一部分。許多問題在列方程時，可能只得到不定方程，但如果考慮元的實際意義，又可對元加以不等式的限制，縮小元的取值范圍，進而推導出答案。現舉兩例說明如下：

例：求n位幻數的個數，n位幻數指10 的n位正整數因數。

在這個問題中，n位幻數是10 的因數，也就是10 可分解為n位幻數與另一個正整數因數之積，很明顯這里有兩個元：幻數和另一個因數，而方程只有一個，易被認為無法繼續，但注意到元的本身意義，就可加入不等式了。10 是n+1位整數，n位幻數當然是n位整數，所以另一因數是不超過10的整數，即被限制在一個較小的范圍內，且取值有限，逐一嘗試可得結果。

解：設n位幻數是x×10 ，其中1≤x＜10，且x是有限的。

設y＝ ，則y是正整數，此時y＝ 。

∵1≤x＜10，∴1＜y≤10

∴y的值可以是2，3，4，5，6，7，8，9，10

∵x是有限（小數）的，且x＝

∴y＝3，6，7，9不合題意，舍去

當y＝2時，x＝ ＝5，幻數為5×10

當y＝4時，x＝2.5，幻數為2.5×10

當y＝5時，x＝2，幻數為2×10

當y＝8時，x＝1.25，幻數為1.25×10

當y＝10時，x＝1，幻數為1×10

∴當n＝1時，1位幻數有5，2，1，共3個；

當n＝2時，2位幻數有50，25，20，10，共4個；

當n≥3時，n位幻數有5×10 ，2.5×10 ，2×10 ，1.25×10 ，1×10 ，共5個。

這一問題如果采用歸納猜想的方法或是比較等方法，將不利于問題解決，因為n從1增大到3時，幻數在增加，而當n≥3時，又難以確定幻數個數不變。通過設元將問題形式化，就避免了這些困難，且解題過程簡潔明了。再看一例：

例：有兩個兩位數，它們的差是56，它們的平方數的末兩位數字相同，求此兩位數。

本例取自張奠宙《數學方法論稿》P154例8。在《論稿》上作者為了闡明簡單性原則在指導解題方面的作用，列舉了三種解法，均將原問題分解為子問題，并取子問題的交集。實際上如果能通過設元采用形式化原則，解決這個問題將更簡單。問題中有兩個條件，可列兩個方程，有三個元，兩個是未知自然數，另一個是兩數平方差的結果；對兩數的限制是兩數都是兩位的整數，且它們的平方差是100的倍數。經過這樣的分析，問題就類似于前面所說的將問題形式化再兼顧符號本真意義的問題了。具體解法如下：

解：設這兩個兩位數為a，b，不妨設a＞b＞0。

由題意得a-b=56（1）a -b =100x（2），其中x是一個整數。

把（1）代入（2）得，56（a＋b）＝100x

a+b＝ x（3）

∶a＝28+ x

∶b＝-28+ x

∵a、b都是兩位數，即10＜a＜100，且10＜b＜100

∴10＜28+ x＜10010＜-28+ x＜100，解得31.36＜x＜80.64

∵x是整數且a＝28+ x也是整數

∴x是28的整數倍

∴x在其取值范圍內，只能取x＝56

此時a=78b=22

即這兩個數分別為78和22。

這個解題過程與《論稿》上的解題過程相比較，直接省去了大量的湊符合子問題題設的數據的計算，更不會出現湊數據過程中容易漏掉某些數值的情況。

這兩個例子的解題思想是一致的，通過設元將問題形式化，列出不定方程（組），再結合元的實際意義，列出不等式（組）求解。在這一過程中也涉及其他的數學思想，例如漸進性思想。逐次漸進性原則一種意義上的理解是從用縮小解的范圍或區域的方法，求得正確解的過程。與漸進性原則相關的方法有淘汰排除、逼近、猜想驗證、求近似解，等等。淘汰排除法常用來解選擇題，在有限的可能答案中排除不正確的答案，從而得到正確的答案。但并非只有選擇題才可使用淘汰法，以上兩例中就使用了這樣的方法。在第一個例子中y的值可能有9個，根據x是有限的排除了4個，得到5個正確的y值；在第二個例子中，x在其范圍內的整數是有限個，淘汰非28倍數的值，余下的就是x的正確取值。這種情況下可以這樣理解縮小范圍、區域的意義：設元后，從元的意義出發，將解限制在一個較小而有限的范圍內，是第一層次的縮小；然后方程與元實際意義的結合，將有限范圍內不正確的解排除，則是第二層次的淘汰或說是逼近了問題的答案。再進一步分析，解題過程當然也體現了轉換的思想。許多實際問題難以建立一個具體的數學模型，卻總需用數學語言轉換為與之等價的數學問題。變化問題使我們引進了新的內容，從而產生了新的接觸，產生了和我們問題有關的元素接觸的新可能性。［３］波利亞的數學解題觀可以簡單概括為“問題轉換”，解題就是問題轉換。［４］以上兩個例子的解題過程就是將問題轉化為求方程（組）的解與實際意義下不等式解的交集的過程。

鑒于大型考試中時常會有這樣類型的問題出現，所以在解題教學中也應當適當加強這一思維方法的教學。在初中階段，用字母代替數的思想對學生而言本身就是一難點，學生對這一思想的理解大都停留在設元列方程（組）解應用題，且能直接將元解出來的程度上，這實際上是對數學形式化的認識不夠，體現在兩個方面：第一，對數學符號形式的豐富思想內容不理解。每一個數學符號都代表了相應的數學抽象物，因而就具有了相應數學抽象物的思想內容，只不過這些思想內容隱藏在符號的背后，數學符號形式和它的思想內容是一個完整的整體，［５］初中學生限于認知發展的水平較難以把握隱藏在形式后的思想。第二，形式語言與自然語言存在差異，習慣的自然語言影響形式語言的形成、系統化。教學中總是用直觀的、貼近生活的語言來幫助學生理解形式化材料，這被認為是通往嚴格的橋梁，卻難以解決形式化層次較高的問題。所以許多新教材取消了用字母代替數的部分內容，而穿插于其他知識中，就是考慮到學生在初一難以理解這一思想的緣故。對學生進行一些形式化層次稍高的問題訓練，特別是代數中就應當以純形式化的方式進行，這樣才能提高學生對數學形式化原則的認識，也就利于解決其他問題。

參考文獻：

［1］章士藻.中學數學教育學.江蘇教育出版社，1996.

［2］張奠宙.數學方法論稿.上海教育出版社，1996.

［3］G#8226;波利亞.怎樣解題.中華書局，1948.

［4］張雄.數學方法論與解題研究.高等教育出版社，2003.

［5］涂榮豹.數學認識論.南京師范大學出版社，2003.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”