在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的悟性

摘 要： 悟性是人們在從事教學(xué)活動過程中所顯示出來的洞察問題，解決問題的能力。數(shù)學(xué)教師則通過創(chuàng)設(shè)情景，設(shè)疑釋疑；利用直覺洞察問題的本質(zhì)；類比聯(lián)想；轉(zhuǎn)換思維角度等方法在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)悟性，提高學(xué)生的解題能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng) 悟性

悟性是人們在從事教學(xué)活動過程中所顯示出來的洞察問題、解決問題的能力。它是學(xué)習(xí)靈感和創(chuàng)新思維產(chǎn)生的前提。由于思維形成最有效的辦法是通過解題來實現(xiàn)，因此，在解題過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的悟性，可以提高他們的綜合素質(zhì)和探索處理問題的能力。下面本人結(jié)合教學(xué)實踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)悟性。

1.創(chuàng)設(shè)情景，設(shè)疑釋疑

問題是思維的出發(fā)點(diǎn)，也是悟性形成的催化劑。心理學(xué)研究表明，創(chuàng)設(shè)問題情景可以激發(fā)學(xué)生的求知欲望，促使學(xué)生形成一個解決問題的合適的思維方向。如果經(jīng)常利用問題設(shè)疑，鼓勵和激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，積極探索，就能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)悟性。

例1：已知x、y為共軛復(fù)數(shù)，且（x+y） -3xyi=4-6i，求x、y。

創(chuàng)設(shè)情景：由

（x+y） =4-3xy=-6 x+y=±2xy=2 x=1±iy=1 x=-1±iy=-1?芎i

設(shè)疑：以上解法是否正確，為什么？學(xué)生認(rèn)為不正確，因為x、y不是實數(shù)，需設(shè)x=a+bi、y=a-bi（a、b∈R）再分離實部和虛部求解。但意料之外的是第一種方法求得的結(jié)果正確，原因何在？

釋疑：審視條件發(fā)現(xiàn)，x與y共軛，所以x+y、xy∈R，于是解法中加此說明不失為妙解。

例2：當(dāng)實數(shù)k取何值時，方程組

k（x +1）+1x1-y=1x -y =1

有唯一實數(shù)解？

分析：若采用常規(guī)解法，消元為只含有一個未知數(shù)的方程求解，思維受阻。

創(chuàng)設(shè)問題情景：觀察方程組中每一個方程的特點(diǎn)，以-x代x方程組解不變，從而聯(lián)系題目，由方程組結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，若（x，y）是方程組的一個解，則（-x，y）一定也是它的一個解，故欲使方程組有唯一的解，只須x=0即惟一的解的結(jié)構(gòu)形式為（0，y ）問題得解。

2.利用直覺，洞察問題的本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題中靈感的迸發(fā)離不開直覺的思維，因為直覺思維在處理問題過程中，對問題作全面思考之后不經(jīng)詳盡的推理，直接觸及對象的本質(zhì)，迅速得出預(yù)感性的判斷。解題教學(xué)中若引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題深入細(xì)致地觀察分析，洞察其本質(zhì)、規(guī)律，可以啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生突發(fā)性思維靈感，悟性便在洞察中產(chǎn)生。

例3：設(shè)x、y為正實數(shù)，a、b為正常數(shù) + =1。

求：u=x+y的最小值。

分析：本題含有變量x、y且x、y滿足 + =1，由此聯(lián)想到求條件最值的各種途徑，問題得解。

解法1：直接代入法。因為a，b，x，y∈R+，又 + =1，

所以x＞a，y＞b且y= 。將y= 代入u=x+y中得U= +x=x- +1+b＞2 +a+b，

所以：當(dāng)x-a= ，即x=a+ ，y=b+ 時，U =a+b+2 。

解法2：換元法。因為a，b，x，y∈R， + =1，

所以令 =cos t， =sin t，t∈（0，-π/2），

于是由u=x+y=asec t+bcsc t=a+b+atan t+bcot t≥a+b+2

當(dāng)atan t=bcot t時，即x=a+ ，y=b+ 時，U =a+b+2 。

3.類比聯(lián)想

類比聯(lián)想是指由某一命題的條件或結(jié)論，就其形態(tài)性質(zhì)引起的與其相似的已有知識的聯(lián)想。數(shù)學(xué)是一個具有內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，各分支、部分都是互相聯(lián)系、互相滲透的解題方法，思路更是如此，因而應(yīng)有意識地教給學(xué)生解題方法，以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)其悟性的形成。

例4：已知△ABC是銳角三角形，求證：tanA#8226;tanB#8226;tanC≥3 。

分析：由本題結(jié)論聯(lián)想到熟知的三角公式：若а+β+?奕=π，則tanа+tanβ+tan?奕＝tanа#8226;tanβ#8226;tan?奕，以及代數(shù)中的重要不等式a+b+c≥（a，b，c∈R），將有助于問題的解決。

4.轉(zhuǎn)換思維角度

學(xué)生都習(xí)慣于從某一角度探索問題，這往往限制了思維的開拓，阻礙了數(shù)學(xué)悟性的形成。因此，在教學(xué)中要有意識地要求學(xué)生從“換一種說法”的角度去轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)命題，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)悟性和靈感。

例5：給定實數(shù)a（a≠0，a≠1），設(shè)函數(shù)y= （其中x∈R且x≠ ），求證：經(jīng)過這個函數(shù)圖象上任意兩個不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸。

分析1：反證法。假設(shè)存在圖象上兩點(diǎn)M （x ，y ），M （x ，y ），M M ∥X軸，則x ≠x 且y ≠y ，由此得出a=1，與已知矛盾。

分析2：直接代入，設(shè)M （x ，y ），M （x ，y ）為圖像上兩個不同的點(diǎn)，由x ≠x 推得y －y ≠0。

參考文獻(xiàn)：

［1］李沛，羅玉成.創(chuàng)造性思維與數(shù)學(xué)教學(xué).廣西師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，（01）.

［2］周根龍.讓學(xué)生在研究中學(xué)習(xí).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001，（04）.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”