加強數值計算課程教學，提高學生科學計算素質

摘 要： 本文從數值計算課程的特點出發，介紹了該課程中常用的一些科學計算的思想和方法，這些思想和方法是學生科學計算素質的重要部分，為了提高這些素質，作者對數值計算課程的課堂教學、實驗教學、考核方法提出了一些建議。

關鍵詞： 數值計算課程 科學計算 教學方法

理論推演與實驗證明是傳統的兩大科學方法。隨著計算機的發展及其在科學技術領域的應用、推廣與深化，科學計算已成為繼理論推演和實驗證明之外的第三種科學手段?，F在，作為科學計算基礎內容的數值計算方法已被廣泛應用于科學技術和國民經濟的各個領域，如石油的勘探與開發、大型水利工程的設計與建筑、天氣預報等。數值計算方法之所以應用廣泛，一方面因為計算方法是實際問題數值模擬方法的設計、分析與軟件實現的理論基礎，其內容涉及數學、物理、力學、化學、計算機科學等多種學科的有關內容，另一方面，計算機的發展使得計算方法有了先進的計算工具，而計算能力的提高又使得數值計算成為現實。數值計算是一門介紹適用于計算機上使用的數值分析方法的課程，也稱為計算方法課程。數值計算課程是科學計算的基礎和理論保障，是大學工科數學中的一門重要課程。

一、數值計算課程的特點

數值計算方法的基礎是高等數學、線性代數等課程。數值計算是以數學問題為研究對象的一門學科，具有完善的理論體系，它雖然是數學的一個分支，但不同于純數學那樣只研究數學理論本身，而是著重研究求數學問題的各種數值計算方法和相關理論，包括方法的收斂性、穩定性、誤差分析等，為數學問題依靠計算機來求解提供有效的數值方法。為了使學生能夠更好地掌握數值計算課程的基本思想、基本原理和基本方法，教師要擺脫數學思維模式的束縛，過渡到數值思想，提高學生的科學計算的素質。

數值計算課程內容主要包括：數值逼近、數值代數、微分方程數值解法等。它具有以下幾個特點。

1.實用性。這門課程中的許多方法的理論基礎是在高等數學和線性代數中學習過的知識，但是與這些基礎課程強調理論分析不同，它更注重運用這些理論分析的結果，同時它注重應用的科學性，注重解決實際問題。

2.注重算法。數值計算課程主要研究算法，算法必須能在計算機上實現。例如，解一個含有大量未知量的線性方程組或計算高階矩陣的全部特征根，無論計算方法如何好，單憑人工都是很難實現的。這就要求我們會利用計算機進行編程計算，或利用現成的軟件進行計算，這無疑對學生的計算機水平提出了相當高的要求。另外很多計算方法都具有便于計算機求解的特點。

3.工程背景強。數值計算方法中的數學方法和理論，本身并不都是數學學科的產物，它首先來源于實際計算的需要，該課程十分注重解決實際工程問題，在地質勘探、汽車制造、天氣預報、航空航天技術中已經得到廣泛的運用，它是解決“計算”問題的橋梁和工具。

二、學生科學計算素質應包括的內容

數值計算方法中蘊含著豐富的數學思想和數學方法，在教學中應注意由淺入深、由特殊到一般，在介紹方法和引進概念時應力求揭示問題的實質，對于方法和概念之間應著重闡明其聯系。數值計算方法中有如下一些常用的方法，它們應該是提高學生科學計算素質的重要內容：

1.遞推法。遞推法是計算公式中常采用的形式，它的基本思想是將一個復雜的計算過程歸結為簡單過程的多次重復，這種重復在算法中表現為循環。例如多項式求值的秦九韶方法，就是通過一次式的反復計算，逐步得出高次多項式的值，這種化繁為簡的方法是計算方法研究的基本原則之一。

2.迭代法。迭代法是處理線性或非線性問題的重要手段之一。迭代法是指按同一公式重復計算的一個數值過程。例如用雅克比迭代法和賽德爾迭代法求線性方程組的數值解，就是先構造迭代公式，再選定初值，逐次計算，得到近似解。

3.以直代曲。這是計算方法常用的手段之一，它的思路是將非線性問題線性化，即在局部范圍內用直線近似代替曲線。例如用牛頓迭代法求非線性方程的解，就是典型的以直代曲的例子。

4.化整為零也是計算方法研究的一種重要手段。用復化梯形公式和復合辛普森公式求定積分的近似值就是一個典型的例子。

遞推法、迭代法、局部以直代曲法、化整為零法，在計算方法的研究中常?；ハ酀B透、互相聯系。如牛頓法解非線性方程是局部以直代曲和迭代法的結合，復合梯形公式求定積分是化整為零和局部以直代曲的結合。這些方法都是用極限思想研究不同數值問題的具體表現。極限思想是從有限中找到無限，并且使之確定下來的一種思想。解非線性方程的牛頓法是一個迭代過程，是極限無限變化過程中的某個階段，一方面計算機快速而有效的計算可以完成這個階段，給出計算結果的數值表，另一方面分析此數值表能夠幫助我們判斷此算法的收斂性和收斂的快慢程度。當然我們還可以用極限的思想構造其他解非線性方程的數值解法，并分析每一種數值方法的實用性和有效性。極限思想在計算方法中的應用，使學生對極限的概念有了更直觀和深刻的理解，從而提高了學生的科學計算的素質。

三、加強數值計算方法課程的教學與考核

為提高學生的科學計算素質，就要加強該課程的教學和考核工作。首先要制定適當的教學大綱與考試大綱，其次要通過改革教學方法及方式，培養學生應用數學解決問題的能力，使學生能夠把所學內容有機地結合在一起，形成一個完整的理論體系，從而激發學生的學習興趣，培養他們的創新精神。

1.課堂教學。課堂講授是數值計算方法教學中的主要部分，我們應該盡可能地突出數值計算課程的特色。由于數值計算中涉及的問題都是從實際中提煉出來的，再應用數學的理論加以推導，最后提出具體的解決方法，因此，每種數值方法的講授都應該盡量地從實例中提出問題，引導學生去思考如何運用數學知識去構造解決的方法，然后再給出相應的數學理論。實際上，數值分析的教學過程恰好就是一個簡單的科學研究過程，這種教學方法能夠激發學生的學習興趣，使學生對知識的掌握更加扎實。

目前在數值計算教學中還存在一些普遍的問題，如：教學課時有限，課堂講授不可能面面俱到；覆蓋的知識面寬，各部分內容自成體系，結構松散，前后連貫性不強；對問題實際背景分析不夠，不了解數學思維過程，很難激發學生的學習興趣，學生的實踐能力也不強；一般教材對實驗指導方面不夠重視，不利于提高學生的應用能力。為解決這些問題，應該對教材內容進行必要的選擇，進行必要的加工。例如常微分方程的數值解，不僅要學習初值問題，而且對邊值問題也要進行適當的討論，以適應數學建模的廣泛性，使講授的內容不僅具有適用性，而且具有嚴密的邏輯性和完整性。

多年延續下來的授課方式大多是板書，對課本內容邊講解、邊板書而完成?，F代數值計算方法信息量大、公式繁多、理論與實際結合強，采用傳統方式教學，黑板板書占用了大量時間，不利于豐富課堂教學內容，也無法向學生進行程序演示與算法比較，所以我們要對教學方法及教學手段進行改革。數值分析的知識由許多不同的部分組成，而且內容十分廣泛，授課時，先從它的實際背景入手，分析建立數學模型的思路及計算方法的理論依據，努力使各部分之間保持緊密的聯系，引導學生找出各知識點之間的關系，以及它們的不同之處，分析各種計算方法，提出它們的缺點所在，例如方法的收斂性和穩定性，以及是否為病態問題，這樣學生的思路就會非常清晰。例如在插值法的教學中，首先用嚴密的數學推理解決插值多項式解的存在唯一性，然后對表達式進行求解，從而得到拉格朗日插值法，再通過理論分析，引出牛頓插值法、赫米特插值法等，直至三次樣條插值，這樣就形成一個完整的插值計算法。在教學中，要適當地運用現代化手段。由于數值計算的理論基礎就是數學，它的理論推導有時比較復雜，但原理并不抽象。如果我們只是推導演算來求得計算公式，不但會把一個簡單公式復雜化，而且勢必會分散學生的注意力，讓他們感到枯燥無味，使其在情緒上產生抵觸心理，降低學習效率。利用多媒體輔助教學，可以增大信息量，節省一些不必要的時間，把精力集中在講透基本概念、基本原理及算法實現上，再把一部分實例圖形展示給學生，會加深他們的印象與理解。還可以分步重復演示，有效地強化課堂教學效果，激發學生對問題的直觀認識，有利于培養學生的創造性思維能力，因而多媒體課件輔助教學也是教學改革的一個重要內容。

2.實驗教學。數值計算是一門實驗性學科。如果我們只講授一些算法，不去上機實際操作，勢必會造成學生的實踐與應用能力很差，學到的知識除了應付考試外不知道如何使用和有什么實際用途。此外，上機實驗不但能培養學生的實踐能力，而且對其編程能力也有所提高。由于計算方法不但要求適合于計算機上使用，而且該算法必須具有算法的穩定性、理論的可靠性及計算的復雜性，因而上機實踐是必不可少的。這也是一個消化所學內容的過程，以此來驗證各種方法的優缺點，同時也是改進編寫計算機程序的過程，通過自己的親自編程實踐來解決一些簡單的實際問題，也是充分調動學生參與的過程，使學生做到學有所用。這樣不僅能使學生掌握計算方法的理論知識，學會解決一些簡單問題的方法，更重要的是使學生能體會數學的用處。近幾年來全國大學生數學建模比賽，更是體現了利用數學思想提煉出解決一些實際問題的數學模型，然后從理論上進行分析研究，最后編制實驗程序、上機實踐，使得問題得以解決。上機課的目的主要在于培養學生的實踐和編程能力，將課堂上學到的數值分析方法理論應用到具體的實例中，這是一個消化課堂上學習的知識點的過程。學生針對同一個問題可以嘗試不同方法去解決，并且加以比較，以此來驗證各種方法的優缺點。數值分析中的問題僅靠課堂教學、理論推導是很難講明白的，例如收斂性、穩定性等相關問題，學生在實際的計算過程中，可以通過畫圖或列表等比較的方式對課堂的知識加深理解。上機實驗與課堂教學的結合也是一種初級科研過程，讓學生初步感受到科研的樂趣、困難及氣氛。但是需要說明的是，上機實驗這一教學環節也存在著一些問題：實習題目重復與學生之間的抄襲問題。教師可以將學生分組做不同的題目，或者針對同一題目，應用多種方法選擇不同的參數求解，然后比較它們之間的差別。上機實驗部分的教學仍有許多需要改進之處，為保證上機質量，在每次上機之前均布置上機作業，并要求學生按上機目的、算法原理、程序、計算結果及結果分析寫出上機報告。實踐證明，上機實踐調動了學生的學習積極性，有利于發揮學生的主觀能動性，同時也提高了學生的動手能力。

3.考核檢查?？己耸敲块T課程的最后一個環節。以前，數值計算方法課程考試為筆試，其成績由期中、期末成績按比例計算。這樣的考核方式雖然簡單、易于操作，但這也是學生不重視實驗、不注重如何應用所學知識解決實際問題的原因之一，造成了學生理論聯系實際和解決實際問題的能力差。針對數值分析課程的特點，除平時成績之外，應將數值實驗放在考核范圍之內，上機書面報告是考核內容之一。作業是考核內容之一，教師要精選一些與教學內容相聯系的習題，注重鞏固提高學生的基礎知識，使學生掌握基本技能和技巧，獲得一些解題方法。做作業是學生學習數學的必要手段之一，很多知識需要整理、推導、應用，才能從中理解所學內容。實驗考核是考核的一部分，上機要有實驗報告，為避免學生應付或抄襲，應分組實驗，每組所給數據（原始）稍做改動，引導學生重視理論和實踐相結合，激發他們的創作熱情，培養學生積極向上的精神。要重視書面考核的設計，力求知識面廣、題型內容豐富，既考查基礎知識，又考查解決問題的能力，促進教學的良性循環。

參考文獻：

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