淺議中學數學化歸法運用技巧

摘 要：化歸法在數學中是一個非常基本的思想方法，有著十分廣泛的應用。熟練掌握并運用化歸法，對于學好中學數學具有重要意義。而順利實現化歸的關鍵，則是掌握一些常用的化歸法技巧。

關鍵詞：中學數學 化歸法

把待解決的問題，通過某種手續，轉化為能解決或者比較容易解決的問題，這就是數學中常用的最基本的思維方法——化歸法。熟練掌握并運用化歸法，對于學好數學具有重要意義。筆者結合多年從教經驗，介紹幾個中學數學中常用的化歸法技巧。

一、抓住知識間的結合點

數學的許多知識相互有聯系，那些知識結合點就是聯系若干知識的紐帶，是化歸必經的橋梁。例如：“對應”是集合與函數的結合點，“系數行列式”是行列式與線性方程組的結合點，“坐標”是數與形的結合點，“輻角”是三角與復數的結合點等。解題時，抓住結合點，弄清知識間的聯示，往往就可找到化歸的途徑，從而實現化歸。

例1：已知ta α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0，求tg α+ctg β的最值。

分析：由tg α+ctg β-6tgα-4ctgβ+12≤0整理得(tgα-3) +(ctgβ-2) ≤1，令x=tgα，y=ctgβ，有（x-3) +(y-2) ≤1，x∈［2，4］，y∈［1，3］，如圖1，即以點O （3，2）為圓心，以1為半徑的圓域（包括邊圓），所以要求tg α+ctg β的最值，即求x +y 的最值。這樣以坐標為紐帶，就有可能把所給問題轉化為解析幾何問題來解。令R =x +y ，設O為坐標原點，連OO ，R的最值由直線OO 和圓（x-3) +(y-2) =1的兩個交點A、B決定。

最大半徑R=|OA|=|OO |+|O A|=1+

最小半徑R=|OB|=|OO |-|O B|= -1，

故R=14+2 ，R=14-2 。

例2：設a、b、c、d∈R，求證： ≥ 。

分析：這個不等式證明顯然可用分析法證明，若從三個無理式可聯想到兩點間距離公式，即把代數問題化歸轉化為幾何問題，使問題容易理解得多。

證明：如圖2，設O（0，0）、M（a，b）、N（c，d），則|OM|= ，|ON|= ，|MN|= ，所以|OM|+|ON|≥|MN|（三角形二邊形之和大于第三邊），即 + ≥ 。

二、應用關系——映射——反演原則

所謂關系——映射——反演原則，粗略地說，就是若{a，b，x}是由數學對象（a），數學關系（b）等構成的關系結構系統，X是待定目標，通過某一法則f將{a，b，x}映射到{a′，b′，x′}， x′是x的像，通過一定手續可確定x′，然后由x′再反演來確定x。關系——映射——反演原則屬于一般科學方法范疇，內容十分豐富，中學數學中的函數法，換元法、坐標法、參數法、向量法等都是關系——映射——反演原則的具體表現，都是化歸的重要手段。

例3：已知a 、b∈R ，且e＜a＜b，(e=2.71……）求證：a ＞b 。

證明：欲證a ＞b ，兩邊取自然對數化歸為blna＞alnb，即只要證 ＞ 。f(x)= (x＞e)，則f′(x)= ＜0(x＞e)，故f(x)是減函數。而e＜a＜b，所以f(a)＞f(b)，即 ＞ 成立，從而a ＞b 成立。

例4：求函數y=5-x+ 的最大值。

解：令t= ，則x= (t +1)且t≥0。

因為y=5- (t +1)+t=- (t- ) + ，

所以當t= 時，函數y=5-x+ 的最大值為 。

三、特殊與一般互化

根據形式邏輯，一命題若在特殊條件下為假，則在一般條件下亦假；若在一般條件下為真，則在特殊條件下亦為真。這樣，欲斷定一般條件為假的問題，可化為特殊條件為假的問題解決；欲斷定特殊條件為真的問題，可化為一般條件為真的問題解決。

例5：下列各函數中，偶函數是（ ）。

（A）f(x)=x ?搖?搖（B）g(x)=( ) ?搖?搖（C）ψ(x)=2lgx?搖?搖（D）y=lgx +3

解：取特殊值x=1和x=-1， 當f(1)≠f(-1)，則f(x)一定不是偶函數，從而（A）、（B）、（C）被排除，故正確答案為（D）。

例6：若sina≠0，求證：cosa+cos3a+cos5a= 。

分析：若直接證明頗繁，但觀察等式兩邊規律，可轉為一般證明。cosa+cos3a+cos5a+……cos（2n-1)α= 。用數

學歸納法易證等式成立。再令n=3，即得原等式成立。

四、分解、組合對原題變形

兒童玩積木常把原有形體拆散后重新堆積，以達到稱心的形體。用化歸法解題時也是這樣，若所給問題的關系結構不利于化歸，可考慮分解后重新組合，使新結構易于化歸。面積，體積等計算題，常用這種方法。

例7：如圖3，已知三棱錐P—ABC中，棱AC長為6，其余各棱長均為5，求此三棱錐體積。

分析：若用公式V= PO·S （PO為高）直接計算，計算量頗大。注意到只有棱AC長為6，其它棱長都是5，故可過AC中點作平面把原三棱錐分成兩個體積相等的小三棱錐，使問題化歸為求小三棱錐的體積。

解：取AC中點D，則直線AC與平面PBO垂直，

例8：如圖4，已知長方體ABCD—A′B′C′D′的長、寬、高分別為a、b、c，求長方體的內接四面體B —ACD 的體積。

分析：求四面體體積一般使用三棱錐體積公式：V= hS 。上述四面體每一個面都是原長方體的一個截面，四面體的邊長都可以求出，但計算底面積的計算量較大，而且計算四面體的高更不是易事。若考慮所求四面體和已知長方體的關系，它恰好是已知長方體的切去4個等積的三棱錐的結果。

所以V =V -4V =abc-4× abc= abc。

五、降維或升維

通過截面，可把三維問題轉化為二維問題。類似的思想還表現為在解方程時，從高次方程向低次方程轉化，把多元函數問題轉化為一元函數問題，把倍角三角函數轉化為單角三角函數，把多重積分變成單變量定積分等等，都利用降維實現化歸。有時它的反面——升維，也能起到很好的化歸效果。

例9：解方程（x-2)(x+3)(x-1)(x-6)=-64。

分析：此方程一看是高次方程，無常規方法可循，因而可考慮通過降次方法解決。

解：原方程變形為（x -3x+2)(x -3x-18)=-64

令y=x -3x，則（y+2)(y-18)=-64。

解之得y =2，y =-14，分別代入y=x -3x中，

解之得：x =

例10：半徑為R的圓，內接一個矩形，問當矩形的長與寬為何值時，其面積最大？

分析：矩形面積達到最大值是一個常量，為求這個常量，可先化為變量研究。

解：如圖5

矩形ABCD內接于半徑為R的⊙O，設∠ABC=θ（變量），

因AC=BD=2R，

則S =AB·BC=ACsinθ·ACcosθ=(2R) sinθcosθ=2R sin2θ。

當2θ= ，即θ= 時，S有最大值，故當AB=BC= R時，圓內接矩形面積最大。

教師通過在課堂教學中化歸法的大量運用，可讓學生們掌握這一方法和技巧，提高他們的學習興趣和方法，從而提高學習的效果。

參考文獻：

［1］郁林興.以數學問題的解決為主線，巧妙推進循環教學.陜西教育（理論），2006年第12期.

［2］郭坤.化歸思想在數學教學中的滲透.教學與管理，2003年第24期.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”