對直流電路的工作狀態圖線的分析

摘要： 在分析直流電路時，如能充分運用數學工具，將起到幫助和加深對電路工作狀態的理解的作用。本文通過圖像對直流電路的工作狀態、功率、工作效率進行分析，進而得出圖像中線段、角度、面積等的物理意義。

關鍵詞： 直流電路 圖線 工作狀態 物理意義

最簡單的直流電路如圖1所示，閉合電路歐姆定律的基本形式是

當電源電動勢E和它的內電阻r恒定時，圖1中的電流I，是負載電阻R的單值函數。由（1）式變形可得

（2）式表示U是I的一次函數。若用圖線表示，則（2）式中的E是一次函數的截距，－r是一次函數的斜率，其函數圖線如圖2所示，這條圖線也叫直流電路的狀態圖線。圖2中AB線段上的任意一點表征著直流電路處于一個確定的工作狀態。

一、A、B兩點及α角的物理意義

當直流電路的工作狀態處于A點時，電路中沒有電流通過。由（1）式可知，當外電路斷路，即R＝∞時，I＝0；由（2）式可知，這時的內部電壓降U′=0，U＝E。總之，A點表示直流電路處于一個特殊的狀態——斷路，這時，R ＝∞、I ＝0、U ′=0、 U ＝E。

B點的縱坐標U為0，橫坐標I＝E/r。這時外電路短路，R＝0。總之，B點表示直流電路處于另一個特殊狀態——短路，這時R ＝0、I ＝E/r、U ′＝E、U ＝0。圖2中圖線的斜率是－r，即tan(π-α)=－r，tanα=r。可見α角的正切函數值表示電源的內阻r。

干電池使用了一段時間以后，其電動勢E將變小，而內阻r將增大。如圖3所示，圖1表示新的干電池的狀態圖線，圖2表示舊的干電池的狀態圖線。不過，在相當長的一段時間內這種變化并不大。

二、一般工作狀態

圖4中AB線段上的任意一點P，表示直流電路處于一般工作狀態。P點的位置是由下列三個因素決定的：A點的位置，即電源電動勢E的大小；α角（或短路電流I ＝E/r）的大小；β角的大小。

若P點的坐標用I 、U 表示，直線AB的方程是

由（5）、（6）兩式可知P點的位置確實是E、α、β等三個因素決定的。

由圖4可知，tanβ=U ／I =R ，即β角的正切值表示直流電源的負載電阻R。此外，在圖4中P點與A點的縱向差距表示電源的內部電壓降U′。

當β角逐漸減小，P點沿著AB線段向下移動，電路中電流I增大，路端電路U減小，電源內部電壓降U′加大。當β＝0時，P點與B點重合，這時tanβ＝0，表示負載電阻R＝0，即直流電壓處于短路狀態。這時，I =E／r、U ＝0。

當β角逐漸增大，P點沿著AB圖線向上移動，電路中電流強度I減小，路端電壓U加大。當β＝90°時，P點與A點重合，這時tanβ＝∞，表示負載電阻R=∞，電路處于斷路狀態。這時，I =0、U ＝E。

三、直流電路的功率

直流電路中的功率可分為輸出功率P ＝IU、電源內部消耗的功率P ＝IU′和電源的電功率P ＝IE三部分。根據能量轉化和守恒定律，IE＝I ＋IU′。當電路處于確定的工作狀態，即圖4中的P點確定以后，上述三部分電功率也應該是確定的。

在圖5中，由左上到右下的斜線的矩形面積的大小是I U ，即表示電源的輸出功率P 。由（5）、（6）兩可得

P =IU= （7）

在圖5中，由右上到左下的斜線的矩形面積的大小是I U ′，即表示電源內部消耗的功率P 。由（5）、（6）兩可得

上述兩個矩形面積之和等于I ，即表示電源的電功率P

可見，P 、P 、P 這三個電功率都由E、β、α三個因素決定的，當直流電路的狀態點P確定以后，以上三因素及三個電功率也就確定了。

當β＝90°時，電路處于斷路狀態，這時P ＝0、P ＝0、P ＝0。

當β由90°開始逐漸減小時，P 和P 將隨著tanβ值的減小而增大，然而(7)式表明P 不是tanβ的單調函數，由圖5中以PO為對角線的矩形面積（表示P ）可知，P 將隨著P點由A向B的移動過程，先增后減，即P點在AB間的某一特定位置時P 有極大值。

（10）式中的E和r是恒量，P 是I的二次函數，而且二次項的系數取負值，可見P 有極大值。根據拋物線的頂點公式，其頂點的橫坐標I＝E／2r時P 有極大值。

如圖6所示，當I＝E／2r時，P點位于AB線段的中點，于是U＝E／2，P ＝IU＝E ／4r。這時tanβ＝tanα，即R＝r時直流電路的輸出功率有極大值。由圖6中的矩形面積可知，P ＝P ＝E ／4r 、P ＝E ／2r。

當β＝0時，P點與B點重合，表示功率的矩形面積如圖7所示。由tanβ=0、R＝0、I ＝E／r、U＝0、U′＝E，可以得出P ＝0、P ＝E ／r、P ＝E ／r。這時的電源功率全都消耗在電源內部，輸出功率為零。

四、直流電路的效率

直流電路的效率

當β＝0時，代表P 的矩形面積為0（見圖7），P 與P 的面積都等于E ／r。這時的直流電路效率η為零。

當β角增大時，P點沿AB線段向上移動，效率值漸增。

當β＝α時（見圖6），輸出功率達到最大值，這時η＝50%。

當β＝90°時，U＝E，由（11）式，電路的效率η＝100%。但實際上是沒有意義的，因為這時表示功率的矩形都縮成了一條直線，取P ＝P ＝P ＝0。這時R＝∞，處于斷路狀態，直流電路已不再工作。

只要直流電路有輸出功率，就不可避免地有電源內部消耗，與其它能量轉換裝置一樣，其效率不可能達到100%。

對比直線運動中的速度圖線和理想氣體的P－V圖線，我們可以體會到直流電路中的上述“工作狀態圖線”也十分重要，其中的線段、角度、面積都有相對應的物理意義，利用這些圖線進行教學，對于這一章的教材能起到提綱挈領的作用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”