數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究現(xiàn)狀及其應(yīng)用

摘 要：數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是圖像處理與分析的重要數(shù)學(xué)工具，已在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、信號(hào)處理、圖像分析、模式識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用并且覆蓋了圖像處理的幾乎所有內(nèi)容，包括圖像分割、特征提取、邊緣檢測(cè)、圖像濾波、圖像增強(qiáng)和恢復(fù)等。本文對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其研究現(xiàn)狀進(jìn)行了分析，希望能對(duì)我們了解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)有所幫助。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) 研究現(xiàn)狀 二值形態(tài)學(xué) 灰值形態(tài)學(xué)

一、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其基本運(yùn)算

1.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(Mathematical Morphology，簡(jiǎn)稱(chēng)形態(tài)學(xué))是研究數(shù)字圖像形態(tài)結(jié)構(gòu)特征的理論，它通過(guò)對(duì)目標(biāo)圖像的形態(tài)變換實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)分析和特征提取。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門(mén)新興學(xué)科。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論和集合理論為基礎(chǔ)，著重于研究圖像的集合結(jié)構(gòu)，形態(tài)學(xué)對(duì)圖像的處理基于結(jié)構(gòu)元素(structure element)的概念，而且結(jié)構(gòu)元素的選擇和圖像的某種特有信息有密切的關(guān)系，所以構(gòu)造不同的結(jié)構(gòu)元素可提供不同的圖像分析和處理方法，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中的集合表示圖像中的特定信息。

2.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算方式是指導(dǎo)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)進(jìn)行運(yùn)算處理的基本方法，目前主要有：（1）腐蝕，腐蝕是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)最基本的運(yùn)算；（2）膨脹(dilation)，可以看作是腐蝕的對(duì)偶運(yùn)算；（3）開(kāi)運(yùn)算，先腐蝕后膨脹稱(chēng)為開(kāi)運(yùn)算(open)；（4）閉運(yùn)算，既先膨脹后腐蝕稱(chēng)為閉運(yùn)算(close)。以上數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算方式是指導(dǎo)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展和進(jìn)行相關(guān)處理的基本方式。

二、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論基礎(chǔ)

1.二值形態(tài)學(xué)。二值形態(tài)學(xué)是針對(duì)二值圖像的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)。它由腐蝕、膨脹、開(kāi)和閉四種本運(yùn)算組成，幾乎所有的形態(tài)學(xué)運(yùn)算的實(shí)用算法都是由這四種基本運(yùn)算發(fā)展來(lái)的。二值設(shè)集合A=(xE X=Z. XZ- : f(x)=1)，集合B=ZZ是一類(lèi)特殊的樣板，稱(chēng)之為結(jié)構(gòu)元素，則A被B腐蝕，表示為A?莓B，二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的第二個(gè)基本運(yùn)算是膨脹。集合A被結(jié)構(gòu)元素B膨脹定義為：A.B=U{B+a:a E A)膨脹是腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算(逆運(yùn)算)，可以通過(guò)對(duì)補(bǔ)集的腐蝕來(lái)定義，可以證明，A?茌B=[AcΘB]c，其中，Ac表示A的補(bǔ)集。開(kāi)運(yùn)算及其對(duì)偶——閉運(yùn)算，它們是腐蝕和膨脹運(yùn)算的復(fù)合，利用結(jié)構(gòu)元素B對(duì)集合A作開(kāi)運(yùn)算，用符號(hào)A-B表示，其定義為:A?莓B=（AΘB）?茌B閉運(yùn)算是開(kāi)運(yùn)算的對(duì)偶運(yùn)算，定義為先作膨脹后作腐蝕運(yùn)算。利用B對(duì)A作閉運(yùn)算表示為AcB，其定義為: A·B=（A?茌B）ΘB。

2.灰值形態(tài)學(xué)討論的是形態(tài)算子作用于灰度圖像的情況。灰值形態(tài)學(xué)中對(duì)應(yīng)的運(yùn)算為極小和極大運(yùn)算。給定兩個(gè)數(shù)字圖像f和g，極小(n)和極大(V)運(yùn)算分別定義為(其中，D[f]，D[g] c Z，分別是f和g的定義域):

(f∧g)(x)=min{f(x)，g(x)}，x∈D[f]∩D[g]

(f∨g)(x)=max{f(x)，g(x)}，x∈D[f]∪D[g]

三、數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)研究現(xiàn)狀

1982年Serra的專(zhuān)著《Image Analysis and MathematicalMorphology》是數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)發(fā)展的重要里程碑，它的問(wèn)世使數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為國(guó)際學(xué)術(shù)界所知，在圖像處理、模式識(shí)別和計(jì)算機(jī)視覺(jué)等領(lǐng)域受到了廣泛的重視。進(jìn)入90年代以來(lái)，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)圖像處理的魯棒性和抗干擾能力是研究的重要方面，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)與人工智能領(lǐng)域中一些軟計(jì)算方法的結(jié)合是研究思路之一。具體的，1991年Koskinen等提出了一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法——軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；1992年，Sinha和Dougherty將模糊數(shù)學(xué)引入數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)領(lǐng)域，形成了模糊數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué) (Fuzzy MathematicalMorphology) ；1998年，Gasteratos等將模糊集合理論應(yīng)用到軟數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，提出了模糊軟數(shù)學(xué)態(tài)學(xué) (Fuzzy soft mathematical morphology)等。

四、 數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)應(yīng)用研究

1.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖象處理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)主要研究圖像的形態(tài)特征，它用一整套概念、變換和算法來(lái)描述圖像的基本特征和基本結(jié)構(gòu)，也就是描述圖像中元素與元素、部分與部分間的關(guān)系。傳統(tǒng)的圖像處理理論以解析方式描述算子的性能，而數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子的性能主要以幾何方式進(jìn)行描述，幾何描述的特點(diǎn)使得形態(tài)學(xué)更適合視覺(jué)信息的處理和分析。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的理論包含內(nèi)容十分廣闊。特別是傳統(tǒng)圖像處理中的線性算子和非線性算子均是形態(tài)學(xué)算子的特例。這個(gè)說(shuō)明數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一個(gè)圖像處理的統(tǒng)一理論，是對(duì)傳統(tǒng)理論的推廣，有助于我們從不同的側(cè)面更深入地了解經(jīng)典算法的性質(zhì)并在更廣泛的范圍內(nèi)，以更靈活的方式對(duì)它們進(jìn)行改進(jìn)。最初，由Matheron和Serra提出的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)以二值圖像為研究對(duì)象，稱(chēng)為二值形態(tài)學(xué);此后，Serra和Sternberg等借助于傘理論，把二值形態(tài)算子推廣到灰度圖像，使灰度形態(tài)學(xué)的理論和應(yīng)用研究也得到很大的發(fā)展，灰度形態(tài)學(xué)己經(jīng)成為數(shù)字圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域中的一種有效方法。目前，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)成為圖像處理理論的一個(gè)重要方面，它被廣泛地應(yīng)用到圖像處理的很多領(lǐng)域中，這些領(lǐng)域涉及醫(yī)學(xué)成像、顯微鏡學(xué)、生物學(xué)、機(jī)器人視覺(jué)、自動(dòng)字符讀取、金相學(xué)、地質(zhì)學(xué)、冶金學(xué)、遙感技術(shù)等。在這些領(lǐng)域中，利用數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)可以對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)、分割、邊緣檢測(cè)、結(jié)構(gòu)分析、形態(tài)分析、骨架化、組分分析、曲線填充、圖像壓縮等等各種各樣的處理。

2.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在語(yǔ)音增強(qiáng)中的應(yīng)用

噪聲信號(hào)的濾波是信號(hào)處理的基本任務(wù)之一，過(guò)去這一任務(wù)主要由線性濾波器來(lái)完成，但線性濾波不能有效地抑制各種噪聲，且不利于信號(hào)邊緣等細(xì)節(jié)特征的保持，因而，近年來(lái)的噪聲信號(hào)恢復(fù)問(wèn)題主要采用非線性濾波器來(lái)處理。形態(tài)濾波器是從數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中發(fā)展出來(lái)的一類(lèi)新型非線性濾波器。在諸多種類(lèi)的非線性濾波器中，形態(tài)濾波器最具代表性，其不僅具有計(jì)算簡(jiǎn)單并行快速的特點(diǎn)，而且作為以數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)為理論基礎(chǔ)的有發(fā)展前途的一種濾波器，其一直受到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛認(rèn)可。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉利軍，劉吉平，周遠(yuǎn)英， 王乘.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的地形圖自動(dòng)矢量化研究.計(jì)算機(jī)應(yīng)用，2003年第2期.

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