解析一道數學高考題的思維價值

摘 要：高考中的創新試題不但能有效地考查考生的創新能力和應用能力，而且能反映考生的思維水平，在教學活動中要充分利用這一寶貴的資源。

關鍵詞：創新能力 應用能力 思維價值

在能力立意、重點考查理性思維的高考命題原則指導下，每年的高考數學試卷中都會出現一定數量的創新試題，考查考生的應用能力和創新能力，給數學成績優秀的考生提供展示能力的空間，體現高考的公平性和選拔性特點。這類新穎試題不但具有較好的考試功能，而且具有較高的思維價值，為教學活動中培養學生的思維能力，提升學生的思維品質提供了豐富的教學資源。2008年上海春季招生數學高考試卷第10題就是一道優秀的創新試題，筆者對其思維價值作一粗淺探索，供同仁參考。

題目：古代“五行”學說認為：“物質分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金。”將五種不同屬性的物質排成一列，設事件A表示“排列中屬性相克的兩種物質不相鄰”，則事件A出現的概率是?搖?搖?搖?搖?搖?搖（結果用數值表示）。

一、探索解題的切入點，培養思維的廣闊性、思維的敏銳性和思維的嚴密性

初見題目，學生往往感到似曾相識，對大腦中儲存的信息：接觸過的類似題型、相關的數學知識方法等等進行迅速的搜索，希望盡快找到解題的切入點，從而培養和訓練學生思維的廣闊性和思維的敏銳性。要解決這樣一個實際問題，到底應從何處入手？采用什么方法？部份接觸過往年高考試題的學生會很快聯想到1993年全國高考卷數學（理）的第17題：

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有?搖?搖?搖?搖?搖?搖。

A. 6種B. 9種C. 11種 D. 23種

兩道題目一樣嗎？仔細考慮，要求完全不一樣，“送賀卡”一題要求自己不送自己，而今年的高考題要求相克的兩元素不能相鄰。但又有可借鑒之處，在解“賀卡”題時，用的方法是用“數字化”建立數學模型，問題轉化成：“由1、2、3、4四個數字組成四位數，其中1不能在第一位，2不能在第二位，3不能在第三位，4不能在第四位的四位數共有多少個？”由此得到啟示，找到了解題的切入點。本題也可以用“數字化”建立起數學模型，用1、2、3、4、5分別代表金、木、土、水、火，將這五個數字按順序寫在一個五邊形上的五個頂點的小圓圈內，如圖1。

則原問題就轉化為：“由1、2、3、4、5這五個數字組成的五位數中，事件A表示其中五邊形中五個頂點中任意相鄰兩個數字都不相鄰的五位數，則事件A的概率是?搖?搖?搖?搖?搖?搖?！?而關鍵是求出滿足條件的五位數的個數。

二、探索解題的具體過程，訓練思維的靈活性、深刻性、嚴密性

思路一：從最原始的方法入手，畫樹圖。先確定首位，可以為1、2、3、4、5，有5種不同的方法。當首位為1時，第二位只能填3或4，而3后面不能填左右兩數，所以只能填5；4后面不能填其左右兩數，只能填2（如圖2）。

又因5后面不能跟4，只能跟2；2后面不能跟3，只能跟5，所以后面填下去都只有一種方法，即滿足條件的五位數只有2個：13524，14235（如圖3）。

由于1、2、3、4、5五個數字在五邊形五個頂點上的地位是平等的，滿足條件的五位數共有2×5=10個，事件A的概率P(A)= = = 。

思路二：對思路一的改進。由于思路一從首位分析考慮，每一步只能對邊上的一個位置定數，若改從中間位置入手考慮，一次可確定左右兩個位置上的數，填數的方法：先確定中間一位上的數字，當中間填1時，左右兩邊不能填2和5，只能填3和4，所以只有兩種可能（如圖4）

剩下的5和2兩個數字也都只有一種填寫法，如圖5：

同理，五個頂點上的五個數字地位是平等的，所以滿足條件的五位數共有10個，事件A的概率P（A）= ，這樣可以大大縮短思維的路徑。

思路三：再仔細思考，要組成滿足條件的數，實際上只需從五個頂點中的任一個頂點的數字出發，按隔一位的路線走下去，最后回到原來出發點，這樣一條線路上的五個數字正好構成滿足條件的一個五位數，也就是用一筆畫畫五角星的一條路徑所經過的五個頂點上的數字構成的五位數，如圖6從數字1出發，按路徑：1→4→2→5→3→1，及逆向路徑：1→3→5→2→4→1所得到兩個滿足條件的五位數14253和13524，這樣可以從五個不同頂點出發，共可組成10個，所以事件A的概率為P（A）= 。

除了上述三種方法外，其它的方法大同小異。而這些思路、方法的探索過程中，可以有效地訓練思維的靈活性、深刻性和嚴密性。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>