數學開放題之探

一、開放意識的形成

學習的目的是為了使自然人過渡到社會人、使社會人更好地服務于社會，由于社會時刻在發生著變化，因此，一個良好的社會人必需具備適應社會變化的能力。讓學生懂得用現成的方法解決現成的問題僅僅是學習的第一步，學習的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案。因此首先必須改變那種只局限于教師給題學生做題的被動的、封閉的意識，為了使數學適應時代的需要，我們選擇了數學開放題作為一個切入口，開放題的引入，促進了數學教育的開放化和個性化，從發現問題和解決問題中培養學生的創新精神和實踐能力。

關于開放題目前尚無確切的定論，通常是改變命題結構，改變設問方式，增強問題的探索性以及解決問題過程中的多角度思考，對命題賦予新的解釋進而形成和發現新的問題。近兩年高考題中也出現了開放題的“影子”，如1998年第（19）題：“關于函數f(x)=4Sin(2x+π/3)(x∈R)，有下列命題：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數倍；②y=f(x)的表達式可改寫為y=4Cos(2x-π/6):③y=f(x)的圖象關于點（-π/6，0）對稱；④y=f(x)的圖象關于直線x=-π/6對稱。其中正確的命題是──（注：把你認為正確的命題的序號都填上）”顯然《高中代數》上冊第184頁例4“作函數y=3Sin(2x+π/3)的簡圖。”可作為其原型。學生如果明白這些道理就會產生對問題開放的需求，逐步形成自覺的開放意識。又如2000年理19文20題函數單調性的參數取值范圍問題（既有條件開放又有道路荊棘叢生，而選擇后者則有ax+1≥1，x≥0以后的道路一片光明；結論開放體現在結論分為兩段，一段上可使函數單調，另一段上不單調，且證明不單調的方法是尋找反例）。

從數學考試中引進一定的結合現實背景的問題和開放性問題，已引起了廣大數學教育工作者的極大關注，開放題的研究已成為數學教育的一個熱點。

二、開放問題的構建

有了開放的意識，加上方法指導，開放才會成為可能。開放問題的構建主要從兩個方面進行，其一是問題本身的開放而獲得新問題，其二是問題解法的開放而獲得新思路。根據創造的三要素：“結構、關系、順序”，我們可以為學生構建由“封閉”題“開放”的如下框圖模式：

除教材介紹的方法外，根據目標的結構特征，改變一下考察問題的角度，或同時對目標的結構作些調整、重新組合，可獲得如下思路：兩點（b，a）、(-m，-m)的連線的斜率大于兩點（b，a）、(0，0)的連線的斜率；b個單位溶液中有a個單位溶質，其濃度小于加入m個單位溶質后的濃度；在數軸上的原點和坐標為1的點處，分別放置質量為m、a的質點時質點系的重心，位于分別放置質量為m、b的質點時質點系的重心的左側等。

〔例2〕由圓x2+y2=4上任意一點向x軸作垂線。求垂線夾在圓周和x軸間的線段中點的軌跡方程。（《高中平面解析幾何》復習參考題二第11題）（答案：x2/4+y2=1）

問題本身開放：先從問題中分解出一些主要“組件”，如：A、“圓x2+y2=4”；B、“x軸”；C、“線段中點”等。然后對這些“組件”作特殊化、一般化等處理便可獲得新問題。

對A而言，圓作為一種特殊的曲線，我們將其重新定位在“曲線”上，那么曲線又可分解成大小、形狀和位置三要素，于是改變條件A（大小或形狀或位置）就可使問題向三個方向延伸。

如改變位置，將A寫成“(x-a)2+(y-b)2=4”，即可得所求的軌跡方程為(x-a)2+(2y-b)2=4；再將其特殊化（取a=0），并進行新的組合便有問題：圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4有怎樣的位置關系？試說明理由。

簡解：解方程組 得y=0 或y=2b/3

當y=0時，x2+b2=4，

（1）若b<-2或 b>2，圓與橢圓沒有公共點；

（2）若b=±2，圓與橢圓恰有一個公共點；

（3）若 -2

當y=2b/3時，x2+b2/9=4，

（1）若b<-6或b>6，圓與橢圓沒有公共點；

（2）若b=±6，圓與橢圓恰有一個公共點；

（3）若-6

綜上所述，圓x2+(y-b)2=4與橢圓x2+(2y-b)2=4，當b<-6或b>6時沒有公共點；當b=±6時恰有一個公共點；當-6

上面的解法是從“數”著手，也可以從“形”著手分析。

再進一步延伸，得：當b>6時，圓x2+(y-b)2=4上的點到橢圓x2+(2y-b)2=4上的點的最大距離是多少？這個問題的解決是對數形結合、等價轉化等思想的進一步強化。

對B而言，它是一條特殊的直線，通過對其位置的變更可產生許多有意義的問題；而C是一種特殊的線段分點，同樣可以使其推廣到一般，若對由此產生的結果繼續研究就會發現以往的一些會考、高考試題。

三、開放問題的探索

開放的行為給上面三個簡單的問題注入了新的活力，推陳出“新”、自己給自己出題是人自我意識的回歸。開放的過程說白了就是探索的過程。以下以拋物線的焦點弦問題為例來看開放問題的探索。

〔例3〕已知拋物線y2=2px（p＞0），過焦點F的直線與拋物線相交于A（x1，y1），B（x1，y）兩點，P（x0，y0）是線段AB的中點；拋物線的準線為l，分別過點A、B、P作x軸的平行線，依次交l于M、N、Q，連接FM、FN、FQ、AQ和BQ

（1）試盡可能地找出：（a）點A、B、P的縱、橫6個坐標所滿足的等量關系；（b）圖中各線段的垂直關系。

（2）如果允許引輔助線，你還能發現哪些結論？

“所有的畫都是以只有3種原色的方式構成的。每當我們把某樣東西說成是新的的時候，我們真正談論的是現有元素獨特的存在方式。”具備對“封閉”題“開放”的意識的學生，事實上就有了創造意識，這種意識驅動下的實踐自然會使創造力得以發展；同時，隨著高考命題改革的進一步深入，我想這樣的“開放”會在高考中更顯示其生命力。

（江蘇省丹陽市第六中學）

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