函數(shù)不等式證明的幾種常見方法

[摘要]高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)不等式的證明是考試中常見的題型，本文介紹了不等式證明的幾種常見方法。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)不等式 微分中值定理 單調(diào)性

有關(guān)函數(shù)不等式證明題目雖然千變?nèi)f化，但解題方法主要有以下幾種。

一、應(yīng)用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)y=f(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得：f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)。

應(yīng)用拉格朗日中值定理可以證明某些函數(shù)不等式。具體解題步驟可分為：

1.根據(jù)所要證明的不等式作一輔助函數(shù)以及相應(yīng)的閉區(qū)間。

2.說明輔助函數(shù)在閉區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的條件，便得到一個(gè)含ξ的不等式。

3.根據(jù)ξ的范圍，適當(dāng)放大或縮小ξ的值，即可得到所要證明的不等式。

下面我們就通過具體的題目來說明用拉格朗日定理證明不等式的解題過程。

【例1】求證：若x＞0，有x1+x＜1n(1+x)＜x

解析：作輔助函數(shù)y=1n(1+x)，區(qū)間［0，x］，

易知y=ln(1+x)在［0，x］上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有f′(x)=11+x

由拉格朗日中值定理得:存在一點(diǎn)ξ滿足ln(1+x)-ln(1+0)=11+ξxξ∈（0，x），即ln(1+x)=x1+ξ，0＜ξ＜x.

而x1+x＜x1+ξ＜x1+0，故x1+x＜ln(1+x)（1+x）＜x(x＞0).

【例2】當(dāng)x＞0時(shí)，證明不等式:x＜ex-1x＜ex

解析:作輔助函數(shù)f(x)=ex，區(qū)間［0，x］

顯然f(x)在區(qū)間［0，x］(x＞0)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo).有f′(x)=ex.

由拉格朗日中值定理得:存在一點(diǎn)ξ滿足ex-e0x-0=eξ.

而e0＜eξ＜ex，故有1＜ex-e0x-0＜ex.

所以x＜ex-1＜xex.

說明：（1）一般的雙向不等式可以考慮用拉格朗日中值定理證明；（2）構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法。

二、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式

利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法是：先將不等式兩邊的分析式移到不等式的一邊，使不等式變成(…)＞0的形式，再令此不等式的左邊函數(shù)為f(x)，于是問題就變成證明在x的變化區(qū)間內(nèi)f(x)＞0。要證明f(x)＞0，只需證明下面兩點(diǎn)：

1.f(x)在x的變化區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少），即證明f′(x)＞0（或f′(x)＜0）；

2.當(dāng)x趨向于其變化區(qū)間的左端點(diǎn)（或右端點(diǎn)）時(shí)，f(x)的右極限（或左極限）x≥0。

【例1】試證：當(dāng)x＞0時(shí)，arctanx+1x＞π2.

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=arctanx+1x-π2，

有，所以f(x)在區(qū)間(0，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?/p>

所以

即有arctanx+1x-π2＜0，

故當(dāng)x＞0時(shí)， arctanx+1x＞π2成立.

【例2】求證：x≠0時(shí)，ex＞1+x

證明：作輔助函數(shù)f(x)=ex-1-x (-∞，0)∪(0，+∞)

f′(x)=ex-1

當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞增，f(x)＞f(0)

又因?yàn)閒(0)=0

所以ex-1-x＞0，即ex＞1+x

當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，f(x)＞f(0)

又因?yàn)閒(0)=0

所以ex-1-x＞0，即ex＞1+x

綜上x≠0時(shí)，ex＞1+x

說明：一般的單向不等式可考慮用函數(shù)的單調(diào)性來證明。

三、利用函數(shù)的最值證明不等式

令f(x)上連續(xù)，則［b，a］存在最大值M和最小值m，那么：m≤f(x)≤M

【例1】設(shè)1≤x≤1片，證明12p-1≤1， (p＞1)

證明：令f(x)=xp+(1-p)p，x∈［0，1］

由f′(x)=pxp-1-p(1-x)p-1=0

得xp-1=(1-x)p-1，求得惟一的駐點(diǎn)x=12，

f(0)=f(1)=1，f(12)=12p-1和1是f(x)在[0，1]上的最小值和最大值。

所以：12p-1≤xp+(1+x)p≤1，

四、積分表示的不等式的證明

證明兩個(gè)常限定積分之間的不等式關(guān)系，把上限或下限改為變量，使之成為函數(shù)之間的不等式關(guān)系，然后證明函數(shù)之間的不等式關(guān)系可以使用上述三種方法。

【例1】設(shè)f(x) ， g(x)在[a， b]上連續(xù)，且滿足

上述幾種方法是解決這類問題的幾種常見方法，在實(shí)際運(yùn)用的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)幾種方法結(jié)合在一起的情況。可根據(jù)題目的形式靈活運(yùn)用上述幾種方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳傳璋.數(shù)學(xué)分析.北京：高等教育出版社，1983.

[2]白水周.普通高等學(xué)校招生考試應(yīng)試專用教材—高等數(shù)學(xué).北京：中央民族大學(xué)出版社，2007.

作者單位：河南安陽廣播電視大學(xué))