成績標準化算法研究與系統實現

[摘要]本文針對目前常用的成績標準化的處理方法進行了綜合比較，提出了新的成績標準化算法—變權算法，并對其進行了有效性證明。基于變權算法開發出了“成績標準化信息管理系統”應用軟件。

[關鍵詞]變權算法 成績標準化 應用軟件

1問題提出

長久以來，學生的考試成績由于試題的難易程度不同，使得整體分數不滿足正態分布或及格率偏差過大，這時就需要對成績進行適當調整。當試題偏難，學生成績普遍不理想時，需要加分提高成績。如果統一加同樣的分數顯然會出現分數超過100分的越界情況，因此該辦法不能用，目前教師常用的兩種方法是：分段加分和開方乘十法。這兩種方法也存在明顯的缺點。

分段加分法存在名次顛倒問題。例如，給60分以下的同學每人加8分；61~70分的同學每人加6分；71~80分的同學每人加4分；81~90分的同學每人加2分；91~95分的同學每人加1分；96分以上的同學不加分。這樣處理的結果會造成臨界分數段的同學成績與原來的排名次序顛倒的問題，例如，原來80分的人變成了85分（80+4=84），而原來81分的人卻只有83分（81+2=83），這種名次顛倒顯然是不公平的。

開方乘10法使用不便，開方乘10法（對分數m 進行10m處理，如對100分進行處理10100=100）雖然克服了統一加分法的分數越界和分段加分法的順序顛倒的問題，但是該方法的及格分數線被固定在了36分（1036=60），也就是說，不管什么情況都將36分及36分以上的同學統統劃為及格。很顯然在許多場合這種開方乘十法是不適用的。

教師們迫切需要一種既能保證分數不會越界，順序不會顛倒，又要及格線任意可調的通用算法來進行成績標準化的處理。

2研究發現新算法——變權算法

2.1變權算法研究

考慮到對分數僅用一個常數作為權系數或開方數為固定整數進行調整，是不可能滿足有界性（保證分數在0~100之間）和單調性（保證成績排名次序不變）這兩個要求的，也不能實現分數線任意可調的目的。因此，我們采用2個參數同時對分數進行調整，一個調整權系數，另一個調整開方數，兩個參數根據分數及格線的不同而發生變化。兩個參數不一定是整數，均有可能是帶小數的實數。

設x為學生的考試成績，a為權系數，b為開方數，對x按下式調整時

a(x)b(1)

需滿足以下條件：當分數x為100時，調整結果仍然為100，即

a(100)b=100(2)

當確定某一分數m為及格線時，調整結果應為60分，即a(m)b=60(3)

將（2）式和（3）式組成方程組，得：

a×(100)b=100

a×(m)b=60

其中m為已知數。解方程得：

a=100/100log (0.6) / log(0.01m) (4)

b=log(0.6)/log(0.01m) (5)

所以，當及格線確定后，就能夠計算出兩個參數的值，從而可以根據這兩個參數對所有的成績進行調整。例如，及格線為50分，根據（4）式和（5）式計算出a=3.357908，b=0.736956，則可以對所有的成績x用公式（1）進行標準化處理。原分數為60分的同學，調整后的標準成績為：

3.357908×1000.736956=68.6286

在具體操作時可以對標準成績統一進行四舍五入取整，即60分變為69分。下面將兩個特殊的分數100分（邊界值）和50（及格線）分用上述方法進行處理：

3.357908×1000.736956=99.9999997≈100

3.357908×500.736956=59.9999998≈60

可見100分仍為100分，50分變成了60分，處理結果是符合要求的。

2.2變權算法的有效性證明

為了從理論上更加嚴格地說明該算法能夠滿足單調性、有界性這兩個條件，下面給出相關的數學證明。

設需要調整的實際分數為x，調整及格線分數為m，（0≤x≤100，0≤m≤100）

則根據變權算法，標準化成績調整公式為：

y=axb(6)

其中參數a 、b的值可由下列條件方程組解得：

a×(m)b=60(7)

a×(100)b=100(8)

即 b=log(0.6)/log(0.01m)=(log6-1)/log(m-2)>0(log是以10為底)

a=100/100b=1001-b>0

∴ 指數函數y=axb為單調遞增。

下面證明有界性。即當 0≤x≤100時0≤y≤100

取端點值 x=100

即 y=a×100b=100 (由條件方程組中（3）式可得)

當x取另一端點值 x=0時

y=a×0b=0

∵函數 y=axb為單調遞增函數。

∴標準化成績調整函數 y=axb（a=1001-b，b=(log6-1)/log(m-2) ）

是單調有界的，并且當 0≤x≤100時0≤y≤100。

通過以上證明，說明變權算法在理論上是有充分依據的。

3變權算法與其它常用算法比較

前面提到了一些常用算法存在的缺點，變權算法已經全部克服了這些缺點。變權算法既能做到使及格分數線任意確定，又能保證調整后的標準成績不會越界，而且保持原來分數的順序不變。下面通過表1具體的數據把各種常用的方法加以比較。

從表中數據可以清楚地對比各種算法的優劣，一些簡單算法雖然便于小批量數據的手工操作，但缺點明顯；而變權算法明顯有其優勢。

4軟件開發

由于變權算法不太適合手工操作，但其可以非常科學和合理地對數據進行加工處理。基于變權算法開發出的“成績標準化信息管理系統”利用Visual Basic 6.0軟件平臺開發的“成績標準化信息管理系統”，可以直接讀取Excel電子表格中的成績數據，處理后的數據將自動寫入原Excel電子表格中。這樣，教師可以對原始數據和處理后的結果直接加以比較，如果不滿意可以再次處理。

“成績標準化信息管理系統”提供了制定“按及格分數”和制定“不及格比例”兩種方式進行數據調整。在按“不及格比例”方式進行數據調整時，程序能夠自動計算出此時的及格分數線并顯示出來（由于人數要取整數，因此，在人數較少時不及格比率會略高于輸入的控制比率）。該系統不僅為用戶提供了方便的操作，而且能夠自動進行成績分析。如統計各分數段的人數、平均成績、標準差等，并將成績處理前后的分析結果加以對比，使用戶一目了然地看到數據處理前后的不同結果。

“成績標準化信息管理系統”不僅適用于各種大型的水平考試對成績處理的需求，也可以方便地用于平時各門功課的成績處理，該軟件已經投入實際使用。

（作者單位：中國藥科大學）