楊輝三角在日常生活中的有趣應(yīng)用

[摘要]中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)家賈憲在公元11世紀(jì)發(fā)現(xiàn)，并被南宋數(shù)學(xué)家楊輝在他的書中所引述，才使我們今天得以了解賈憲在數(shù)學(xué)上的重大貢獻(xiàn)。

[關(guān)鍵詞]楊輝三角 趣味性 日常生活

楊輝三角最本質(zhì)的特征是，它的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)則是等于它肩上的兩個數(shù)之和。楊輝三角形所蘊(yùn)含的數(shù)字排列規(guī)律，讓我們在感受數(shù)學(xué)美的同時，也體會到它的趣味性和實用性。下面就通過三個實例與讀者共享。

例1.隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，越來越多的人加入炒股大軍。股票的漲停問題也成為人們的重要談資。有一天，同事談到股票漲停時，提出一個問題：要經(jīng)過幾次漲停，股資才能翻一倍？大家知道，股票漲停一次，股資增加了原來的百分之十。構(gòu)建一個模型：設(shè)原來股資為a元，一次漲停后，股資變成 a+10%a=(1+0.1)a=1.1a；二次漲停后，股資變成 1.1a+10%×1.1a=1.12a；

如此遞推，當(dāng)n(n∈z+)次漲停后，股資變成1.1na元。要經(jīng)過幾次漲停，股資才能翻一倍呢？可以建立以下不等式：1.1na＞2a，即 1.1n＞2。那么，最小正整數(shù) n是多少？簡單推算： 1.11=1.1，1.12=1.21，1.13=1.331，……手邊沒有計算器，再算下去就有一點復(fù)雜了。但觀察結(jié)果的數(shù)字，驚奇的發(fā)現(xiàn)前三個的結(jié)果與楊輝三角相對應(yīng)。如圖1

是否1.14=1.4641呢？結(jié)果與計算相同。但當(dāng)n=5時，出現(xiàn)了兩位數(shù)的情形，怎么解決？能不能像加法運(yùn)算一樣進(jìn)位加一變成1.61051呢？經(jīng)過驗算猜想與答案完全一致。這樣求最小正整數(shù)n的運(yùn)算就可以通過觀察得到。當(dāng) n=8時，1.18＞2。也就是經(jīng)過8次漲停后，股資翻倍。

例2.在游戲場所經(jīng)常可以看到這樣的彈球游戲：一個小球向下跌落，碰到第一層阻擋物后等可能的向兩側(cè)跌落。碰到第二層阻擋物再等可能的向兩側(cè)的第三層跌落。如此下去，小球一直跌到容器底層，根據(jù)具體區(qū)域獲得相應(yīng)獎品。可以發(fā)現(xiàn)，在兩端區(qū)域的獎品價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于中間區(qū)域，怎樣解釋這一現(xiàn)象呢？下圖是一個豎直平面內(nèi)的彈球游戲，圖中的豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相通，若豎直線段有一條的為第一層，有兩層的為第二層……以此類推，現(xiàn)求有一顆小球從第一層的通道向下運(yùn)動跌落到第n+1層第m個通道里的概率。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，小球落入第1層第1個通道有1種可能，落入第2個通道也有1種可能。小球落入第2層第1個通道有1種可能，落入第2個通道有2種可能，落入第3個通道有1種可能。落入第3層第1個通道有1種可能，落入第2個通道有3種可能，落入第3個通道有3種可能，落入第4個通道有1種可能……各個通道上的數(shù)字如圖2所示：

通過觀察，各個通道上的數(shù)字與楊輝三角形完全一致，由此可以得出第n+1層所有可能有 C0n+C1n+…+Cn-1n+Cnn=2n種。因此小球從第一層的通道向下運(yùn)動跌落到第n+1層第m個通道里的概率為Cm-1n2n。這樣就很清楚的觀察到越靠近中間區(qū)域小球落入的可能性越大，而兩端落入小球的可能性最小。

例3.2008年北京奧運(yùn)會日益臨近，各個場館的門票預(yù)售也已經(jīng)開始。為了節(jié)省時間，觀眾總想找到從一個場館到達(dá)另一個場館的最短路徑。假設(shè)兩個奧運(yùn)場館的分布如圖3所示：Q代表場館1，P代表場館2。網(wǎng)線表示北京比賽區(qū)域的交通道路，每個方格內(nèi)均表示建筑物。則由Q到P的最短路徑有多少條？由右圖可以觀察到：由Q到A或由Q到B只有一條最短路徑，即Q →A或Q→B，由Q到C有2條最短路徑，即Q→A→C或Q→B→C。綜合上述分析，問題已經(jīng)形成楊輝三角的初形。如此遞推，可以寫出右圖所示的“數(shù)塔”。這樣根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律很容易的得到由Q到P的最短路徑有35條。

假如虛線框內(nèi)的一段街道水管突然斷裂，導(dǎo)致此路段不能通行，則由Q到P的最短路徑有多少條？根據(jù)楊輝三角數(shù)字排列規(guī)律，如圖4所示，最短路徑有13條。

隨著北京城市建設(shè)的快速發(fā)展，各種生活配套設(shè)施日益完備，行人出行的方式已經(jīng)不僅僅是簡單的平面路徑了，而是發(fā)展成由立交橋，地鐵等構(gòu)建而成的立體交通網(wǎng)絡(luò)。假設(shè)一名觀眾正處于圖5所示的立體交通網(wǎng)絡(luò)中，他由P到Q有多少種不同走法？

首先，構(gòu)建一個由m3(m∈Z+)個大小相同的小正方體拼成一個大正方體表示一個超級立體交通網(wǎng)絡(luò)（如圖6）。

在圖6中分別過點A11A12A13、A21A22A23、……作與QO垂直的截面，在這些截面上，網(wǎng)絡(luò)交叉點的個數(shù)恰好為1+2，1+2+3，1+2+3+4，……，這也恰恰分別是（a+b+c）1，(a+b+c)2，(a+b+c)3，……的展開式的項數(shù)。在每個交叉點上標(biāo)上該點到Q點的不同走法的種數(shù)。這樣，在大正方體的上邊的面，右邊的面，后邊的面中交叉點上數(shù)字恰好構(gòu)成楊輝三角，在正方體內(nèi)部的每個交叉點上的數(shù)字都是它的上方，右方和后方與之相鄰的三個交叉點上數(shù)字之和。由以上結(jié)論可以在圖5的每個交叉點上標(biāo)出該交叉路口到 Q點的走法種數(shù)，可以非常容易的得出該觀眾由P到Q有60種不同走法。

通過楊輝三角的幾個有趣應(yīng)用，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的思維時刻影響著我們的生活。正如浙江師范大學(xué)教授張維忠在《文化視野中的數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育》所說：數(shù)學(xué)作為一種文化，其文化價值在于它是打開科學(xué)大門的鑰匙，是科學(xué)的語言，是思維的工具，是一種思想方法，更是一種理性的精神。

參考文獻(xiàn)：

[1]琚國起.楊輝三角與棋盤形街道走法[J].數(shù)學(xué)通訊， 2007，6.

[2]章水云.課例：游戲中的數(shù)學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006，9.

(作者單位：浙江富陽市教師進(jìn)修學(xué)校)