關于等價無窮小代換求極限的探討

[摘要]利用等價無窮小代換求極限可以簡化計算。本文主要探討了極限式中含積商、加減因子時用等價無窮小代換求極限的問題，補充了教材中常避開的極限式中含加減因子不能用無窮小代換來求極限的難題，并給出了相應代換的條件和應用實例。

[關鍵詞]等價 無窮小 極限 代換

無窮小量是指在變化過程中極限為0的變量，而等價無窮小是指在變化過程中比值極限為1的兩個無窮小量。常用的等價無窮小有：當x→時，；。恰當利用等價無窮小代換求極限，可大大簡化計算。本文就從極限式中含積商、加減因子的兩種不同情形展開探討。

一、極限式中有積商因子的等價無窮小代換

二、極限式中有加減因子的等價無窮小代換

對于極限式中有積商因子時，很多教材都有提到可以用等價無窮小代換來簡化極限運算，上面也已用定理推論來保證這種可能性。但對于極限式中有加減因子時，很多教材是避而不談或干脆說無窮小代換只能在積商因子中進行。其實，只要利用以下幾點，碰到極限式中有加減因子時，我們還是可以用等價無窮小來化簡極限運算的。

1.對于多項式中的各項一般不能單獨作等價無窮小代換。如典型錯例：

2.把加減因子化成積商因子再代換。還是上例：

由上兩例可知，若分子（或分母）是由有限個無窮小加減形成的，我們可用與它等價的另一組有限個加減形成的無窮小去代換，可大大化簡極限運算。

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(作者單位：廣東中山火炬職業技術學院)