對積分中值定理的推廣與應用

摘要： 文章對積分中值定理進行了討論與推廣，得到了四個推論，并且對給出的積分中值定理進行了一些應用。

關鍵詞： 微分中值定理 積分中值定理 推論 證明

積分中值定理是定積分的一個重要性質，它建立了定積分與被積函數之間的關系，從而使我們可以通過被積函數的性質來研究積分的性質，有較高的理論價值和廣泛的應用性。

一、積分中值定理的內容

積分中值定理在數學分析教材及其它數學教材中是這樣敘述的：

定理1（積分中值定理）：若f(x)在［a，b］上連續，則在［a，b］上至少存在一點ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a≤ξ≤b。 （1）

對于上述定理，可以將ξ的取值范圍由閉區間［a，b］減弱到開區間(a，b)。

定理1′ （積分中值定理）：若f(x)在閉區間［a，b］上連續，則在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使得

?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a＜ξ＜b。 （2）

證明：利用拉格朗日微分中值定理來證明。

設Φ(x)=?蘩 f(t)dt

因為f(x)在［a，b]上連續，所以Φ(x)在［a，b］上連續，在(a，b)內可導，且Φ′ (x)=f(x)。

對Φ(x)應用拉格朗日微分中值定理可得：

在(a，b)內至少存在一點ξ，使

Φ(b)-Φ(a)=Φ′(ξ)(b-a)

即?蘩 f(x)dx=f(ξ)(b-a)，a＜ξ＜b。

對于積分中值定理還可以得到下面的一些結論。

推論1：若f(x)在閉區間［a，b］上連續，且?蘩 f(x)dx=0，則在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0。

證明：因為f(x)在閉區間［a，b］上連續，由積分中值定理知：

在開區間(a，b)內至少有一點ξ，使得

二、定理的應用

例1.設函數f(x)在［０，１］上連續，在（0，1）內可導，且3?蘩 f(x)dx=f(0)，

求證：在開區間（0，1）內至少有一點ξ，使得f′(ξ)=0。

證明：由積分中值定理得：

因此，f(0)=f(η)

由于函數f(x)在［0，η］上連續，在(0，η)內可導，

所以，在開區間(0，η)內至少有一點ξ，使得f′(ξ)=0。

∴η∈( ，1)

因此，在開區間(0，1)內至少有一點ξ，使得f′(ξ)=0。

例2.若f(x)在閉區間［0，b］上連續、非負、嚴格單調減函數，

參考文獻：

［1］華東師師范大學.數學分析(第三版)［M］.北京：高等教育出版社，2004.21，46.

［2］同濟大學數學教研室主編.高等數學(上冊).第五版［M］.北京:高等教育出版社，2002.

［3］高等數學(第一冊).第1版，蘇州大學出版社，2003年12月.

［4］寧存法，陳丫丫.關于積分中值定理的注記.太原大學教育學院學報增刊，2007年6月.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”