基于約束最小二乘數字圖像恢復

摘要：介紹了圖像退化模型和約束最小二乘濾波器以及平滑約束最小二乘濾波器，并用MATLAB7.0實現約束最小二乘濾波恢復圖像和平滑約束最小二乘濾波恢復圖像。

關鍵詞：圖像恢復；圖像退化；約束最小二乘；平滑約束

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)14-20914-01

1 引言

數字圖像在獲取的過程中，由于光學系統的像差、光學成像衍射、成像系統的非線性畸變、攝影膠片的感光的非線性、成像過程的相對運動、大氣的湍流效應、環境隨機噪聲等原因，圖像會產生一定程度的退化。因此，必須采取一定的方法盡可能地減少或消除圖像質量的下降，恢復圖像的本來面目，這就是圖像復原，也稱為圖像恢復。圖像復原是試圖利用退化過程的先驗知識使已退化的圖像恢復本來面目，即根據退化的原因，分析引起退化的環境因素，建立相應的數學模型，并沿著使圖像降質的逆過程恢復圖像。

2 圖像退化模型和約束最小二乘方法

2.1 圖像退化模型

原始圖像f(x，y)經過一個退化算子或退化系統H(其沖激響應為h(x，y))的作用，并且和噪聲n(x，y)進行疊加，形成退化圖像g(x，y)，假設算子或系統是線性的和空間移位不變的，模型的輸入與輸出之間可存在下列關系：

g(x，y)=H[f(x，y)]+ n(x，y)

圖像復原就是已知h(x，y)和n(x，y)，進行反演運算，得到f(x，y)的最佳估計(u，v)。

2.2 約束最小二乘濾波器

式(1)為約束最小二乘濾波器；其中r為一個可調節的參數，sf(u，v)和Sn(u，v)分別表示f(x，y)和n(x，y)的功率譜密度，H(u，v)和U(u，v)分別是h(x，y)和g(x，y)的二維傅立葉變換，H* (u，v)為H(u，v)的共軛，(u，v)是(u，v)的二維傅立葉變換。約束最小二乘濾波器對噪聲放大有自動抑制作用，但增強了低頻段中偏高的頻率成分，在視覺上即是使一些小細節增強。如果H(u，v)在某處為0，由于存在Sn(u，v)/Sf(u，v)，所以分母就不會出現0的情形。一般在低頻譜區，信噪比很高，即Sn(u，v)<>Sf(u，v)，因為噪聲項一般多在高頻范圍，所以濾波器抑制了噪聲，但同時也去掉了一些有用的高頻細節。這說明約束最小二乘濾波器在濾波過程中，減少了對噪聲的放大作用。

2.3 平滑約束最小二乘濾波器

式(2)為平滑約束最小二乘濾波器。式中r為可調節的參數，r的取值控制著對估計圖像所加光滑性約束的強度；CL(u，v)的形狀則決定了不同頻率所受光滑性影響的程度。該式以平滑度為基礎的，挑選恢復解的二階導數最小的準則。數學上的說法是使TCTC最小，且滿足約束條件‖g-H‖2=‖n‖2下的最優估計問題，其中C稱為平滑矩陣。C由Laplacian算子得出，即C是分塊循環矩陣，每一分塊Cj是由CL(x，y)延伸后的矩陣CLe(x，y)的第j行組成的M×N循環矩陣，其中

3 實驗結果與分析

通過在原圖像里加入高斯噪聲后，再對加入噪聲的圖像進行恢復，然后利用MATLAB7.0實現約束最小二乘濾波恢復圖像及平滑約束最小二乘濾波恢復圖像。圖1是實驗用原圖，圖2是加入參數值為0.001高斯噪聲后的圖像，圖3是約束最小二乘濾波器恢復的圖像，圖4是平滑約束最小二乘濾波器恢復的圖像，得到比較好的結果。

4 結束語

實驗結果表明：利用約束最小二乘方法實現對受到噪聲等因素所干擾的數字圖像其恢復的效果和原始圖像相比還有一定的差距。建立在該方法的基礎之上，已經有不少新的恢復算法不斷地被提出，而且使得對數字圖像的恢復有了越來越好的效果。

參考文獻：

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文