淺析數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用

[摘 要] 數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征之一。文章本文通過探討數(shù)學(xué)期望在決策、利潤(rùn)、委托代理關(guān)系、彩票等方面的一些實(shí)例，闡述了數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)和實(shí)際問題中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞] 隨機(jī)變量 數(shù)學(xué)期望 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)簡(jiǎn)稱期望，又稱均值，是概率論中一項(xiàng)重要的數(shù)字特征，在經(jīng)濟(jì)管理工作中有著重要的應(yīng)用。本文通過探討數(shù)學(xué)期望在經(jīng)濟(jì)和實(shí)際問題中的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用，以期起到讓學(xué)生了解知識(shí)與人類實(shí)踐緊密聯(lián)系的豐富底蘊(yùn)，切身體會(huì)到“數(shù)學(xué)的確有用”。

一、決策方案問題

決策方案即將數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案加以決策。它幫助人們?cè)趶?fù)雜的情況下從可能采取的方案中做出選擇和決定。具體做法為：如果知道任一方案Ai(i=1，2，…m)在每個(gè)影響因素Sj(j=1，2，…，n)發(fā)生的情況下，實(shí)施某種方案所產(chǎn)生的盈利值及各影響因素發(fā)生的概率，則可以比較各個(gè)方案的期望盈利，從而選擇其中期望盈利最高的為最佳方案。

1.風(fēng)險(xiǎn)方案

假設(shè)某公司預(yù)計(jì)市場(chǎng)的需求將會(huì)增長(zhǎng)。目前公司的員工都在滿負(fù)荷地工作著，為滿足市場(chǎng)需求，公司考慮是否讓員工超時(shí)工作或以添置設(shè)備的辦法提高產(chǎn)量。假設(shè)公司預(yù)測(cè)市場(chǎng)需求量增加的概率為p，同時(shí)還有1-p的可能市場(chǎng)需求會(huì)下降。若將已知的相關(guān)數(shù)據(jù)列于下表:

由條件可知，在市場(chǎng)需求增加的情況下，使員工超時(shí)工作或添加設(shè)備都是合算的。然而現(xiàn)實(shí)是不知道哪種情況會(huì)出現(xiàn)，因此要比較幾種方案獲利的期望大小。用期望值判斷，有:

E(A1)=30(1-p)+34p，E(A2)=29(1-p)+42p，E(A3)=25(1-p)+44p。

事實(shí)上，若p=0.8，則E(A1)=33.2（萬），E(A2)=39.4（萬），E(A3)=40.2(萬），于是公司可以決定更新設(shè)備，擴(kuò)大生產(chǎn)。若p=0.5，則E(A1)=32(萬），E(A2)=35.5(萬），E(A3)=34.5(萬），此時(shí)公司可決定采取員工超時(shí)工作的應(yīng)急措施。由此可見，只要市場(chǎng)需求增長(zhǎng)可能性在50%以上，公司就應(yīng)采取一定的措施，以期利潤(rùn)的增長(zhǎng)。

2.投資方案

假設(shè)某人用10萬元進(jìn)行為期一年的投資，有兩種投資方案：一是購(gòu)買股票;二是存入銀行獲取利息。買股票的收益取決于經(jīng)濟(jì)形勢(shì)，若經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好可獲利4萬元，形勢(shì)中等可獲利1萬元，形勢(shì)不好要損失2萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為8%，可得利息8000元，又設(shè)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)好、中、差的概率分別為30%、50%、20%。試問應(yīng)選擇哪一種方案可使投資的效益較大？

比較兩種投資方案獲利的期望大小：

購(gòu)買股票的獲利期望是E(A1)=4×0.3+1×0.5+(-2)×0.2=1.3(萬元），存入銀行的獲利期望是E(A2)=0.8（萬元），由于E(A1)>E(A2)，所以購(gòu)買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購(gòu)買股票的方案。在這里，投資方案有兩種，但經(jīng)濟(jì)形勢(shì)是一個(gè)不確定因素，做出選擇的根據(jù)必須是數(shù)學(xué)期望高的方案。

3.面試方案

設(shè)想某人在求職過程中得到了兩個(gè)公司的面試通知，假定每個(gè)公司有三種不同的職位:極好的，工資4萬;好的，工資3萬;一般的，工資2.5萬。估計(jì)能得到這些職位的概率為0.2、0.3、0.4，有0.1的可能得不到任何職位。由于每家公司都要求在面試時(shí)表態(tài)接受或拒絕所提供職位，那么，應(yīng)遵循什么策略應(yīng)答呢？

極端的情況是很好處理的，如提供極好的職位或沒工作，當(dāng)然不用做決定了。對(duì)于其他情況，我們的方案是，采取期望受益最大的原則。

先考慮現(xiàn)在進(jìn)行的是最后一次面試，工資的期望值為:E1=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+0×0.1=2.7萬。

那么在進(jìn)行第一次面試時(shí)，我們可以認(rèn)為，如果接受一般的值位，期望工資為2.5萬，但若放棄(可到下一家公司碰運(yùn)氣），期望工資為2.7萬，因此可選擇只接受極好的和好的職位。這一策略下工資總的期望值為4×0.2+3×0.3+2.7×0.5=3.05萬。

如果此人接到了三份這樣的面試通知，又應(yīng)如何決策呢?

最后一次面試，工資的期望值仍為2.7萬。第二次面試的期望值可由下列數(shù)據(jù)求知:極好的職位，工資4萬;好的，工資3萬；一般的，工資2.5萬;沒工作(接受第三次面試），2.7萬。期望值為:E2=4×0.2+3×0.3+2.5×0.4+2.7×0.1=3.05萬。

這樣，對(duì)于三次面試應(yīng)采取的行動(dòng)是：第一次只接受極好的職位，否則進(jìn)行第二次面試；第二次面試可接受極好的和好的職位，否則進(jìn)行第三次面試；第三次面試則接受任何可能提供的職位。這一策略下工資總的期望值為4×0.2+3.05×0.8=3.24萬。故此在求職時(shí)收到多份面試通知時(shí)，應(yīng)用期望受益最大的原則不僅提高就業(yè)機(jī)會(huì)，同時(shí)可提高工資的期望值。

二、生產(chǎn)和銷售利潤(rùn)問題

在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，不論是廠家的生產(chǎn)還是商家的銷售，總是追求利潤(rùn)的最大化，供大于求或供不應(yīng)求都不利于獲得最大利潤(rùn)。但供應(yīng)量和需求量又不是預(yù)先知道的。理性的廠家或商家往往根據(jù)過去的數(shù)據(jù)(概率），用數(shù)學(xué)期望結(jié)合微積分的有關(guān)知識(shí)，制定最佳的生產(chǎn)或銷售策略。

假定某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品市場(chǎng)，并試圖確定其產(chǎn)量。估計(jì)出售一件產(chǎn)品，公司可獲利m元，而積壓一件產(chǎn)品，可導(dǎo)致?lián)p失n元，另外，該公司預(yù)測(cè)產(chǎn)品的銷售量X為一個(gè)隨機(jī)變量，其分布為p(χ)，那么，產(chǎn)品的產(chǎn)量該如何制定，才能獲得最大利潤(rùn)。

假設(shè)該公司每年生產(chǎn)該產(chǎn)品χ件，盡管χ是確定的，但由于需求量(銷售量)是一個(gè)隨機(jī)變量，所以收益Ｙ是一個(gè)隨機(jī)變量，它是Ｘ的函數(shù)：

于是期望收益為，問題轉(zhuǎn)化為，當(dāng)χ為何值時(shí)，期望收益可以達(dá)到最大值。運(yùn)用微積分的知識(shí)，不難求得。

這個(gè)問題的解決，就是求目標(biāo)函數(shù)期望的最大最小值。

三、委托—代理問題

在經(jīng)濟(jì)生活中，委托—代理是非常普遍的，例如老板和員工、股東和經(jīng)理等等。老板希望在給員工支付工資的同時(shí)確保員工能恪盡職守地工作，而員工則希望在拿到薪酬的同時(shí)盡量少工作。那么，應(yīng)采取怎樣的策略來確保兩方面的平衡呢?我們可以用雙方利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望來分析這一問題。

首先，如果不考慮外界因素的影響，老板的利潤(rùn)會(huì)隨著員工的努力程度而增加；另一方面，如果員工的努力程度不變，老板的利潤(rùn)也會(huì)受到外界因素的影響，簡(jiǎn)單綜合為運(yùn)氣好和運(yùn)氣差。假設(shè)這兩方面的影響可概括如下：

由上表數(shù)據(jù)知，當(dāng)利潤(rùn)為最小(10萬)和最大(40萬)時(shí)，老板可確定員工是否努力工作，在其他情況下無法確定，因此，員工可能會(huì)偷懶。另一方面，員工工作只是為了工資收入，努力工作會(huì)增加他的勞動(dòng)成本，簡(jiǎn)單起見，記其努力工作的勞動(dòng)成本為10萬元，而不努力工作的勞動(dòng)成本為0萬元。因此，對(duì)于老板來說，最有利的結(jié)果當(dāng)然是員工努力工作，這是因?yàn)槔习宓钠谕麧?rùn)為:當(dāng)員工努力工作時(shí)E1=20×0.5+40×0.5=30萬;當(dāng)員工不努力工作時(shí)E2=10×0.5+20×0.5=15萬。那么，如何能保證員工能夠努力工作呢？我們可以考慮不同的報(bào)酬形式:固定工資12萬元;對(duì)員工的努力作出獎(jiǎng)勵(lì)。假設(shè)老板可制定報(bào)酬計(jì)劃如下:若利潤(rùn)不超過20萬，工資為0，若利潤(rùn)達(dá)到40萬，工資為24萬;分享利潤(rùn)。假設(shè)老板可制定報(bào)酬計(jì)劃如下:當(dāng)利潤(rùn)少于18萬時(shí)，工資為0，當(dāng)利潤(rùn)高于18萬時(shí)，超過部分作為工資獎(jiǎng)勵(lì)給員工。

在這三種報(bào)酬形勢(shì)下，我們分別考慮老板和員工雙方的利益;

第一種情況:員工無論努力與否，工資均為12萬，但若努力工作，會(huì)增加勞動(dòng)成本10萬元，因此員工一定選擇不努力工作。對(duì)于老板而言，這種情況下得到的凈利潤(rùn)只能為(10×0.5+20×0.5)-12=3萬，而員工努力工作時(shí)凈老板可獲得的利潤(rùn)高達(dá)(20×0.5+40×0.5)-12=18萬。因此，固定工資必然會(huì)導(dǎo)致效率低下，同時(shí)，期望利潤(rùn)也很低。

第二種情況:對(duì)員工而言，當(dāng)努力工作時(shí)，期望工資收入為 萬，減去勞動(dòng)成本10萬，凈收入為2萬。而如果不努力工作，工資只能為0。所以員工一定會(huì)選擇努力工作。在這種情況下，老板的期望利潤(rùn)為(20-0)×0.5+(40-24)×0.5=18萬，較之第一種情況大為增加。

第三種情況:對(duì)員工而言，當(dāng)努力工作時(shí)，期望工資收入為(20-18)×0.5=1萬，減去勞動(dòng)成本10萬，凈收入為2萬。

而如果不努力工作，期望工資收入為0×0.5+(20-18)×0.5=1萬，沒有勞動(dòng)成本，凈收入為1萬。所以員工也會(huì)選擇努力工作。在這種情況下，老板的期望利潤(rùn)總可以確保為18萬，較之第一種情況也是非常有利的。

由此可知，在這種委托—代理關(guān)系中，引進(jìn)一定的激勵(lì)機(jī)制，委托人把自己的利益有效地融入代理人的利益之中，有利于解決雙方的矛盾。

四、彩票問題

設(shè)每張福利彩票售價(jià)5元，各有一個(gè)兌獎(jiǎng)號(hào)。每售出100萬張?jiān)O(shè)一個(gè)開獎(jiǎng)組，用搖獎(jiǎng)器當(dāng)眾搖出一個(gè)6位數(shù)的中獎(jiǎng)號(hào)碼（可以認(rèn)為從000000到999999的每個(gè)數(shù)等可能出現(xiàn)），兌獎(jiǎng)規(guī)則如下： 如果兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)的最后一位相同者獲六等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金10元（中獎(jiǎng)概率為0.1）；兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)的最后二位相同者獲五等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50元（中獎(jiǎng)概率為0.01）；兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)的最后三位相同者獲四等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金500元(中獎(jiǎng)概率為0.001);兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)的最后四位相同者獲三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金5000元（中獎(jiǎng)概率為0.0001）；兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)的最后五位相同者獲二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金50000元(中獎(jiǎng)概率為0.00001）;兌獎(jiǎng)號(hào)與中獎(jiǎng)號(hào)全部相同者獲一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)金500000元（中獎(jiǎng)概率為0.000001）。另外規(guī)定，只領(lǐng)取其中最高額的獎(jiǎng)金，試求每張彩票的平均所得。

所以彩民的每張彩票的期望所得為:

那么，一個(gè)開獎(jiǎng)組（100萬張）可將所籌得的500萬元中的350萬元以獎(jiǎng)金形式返還給彩民，其余150萬元?jiǎng)t可用于福利事業(yè)及管理費(fèi)用。因此，彩票中獎(jiǎng)與否雖然是隨機(jī)的，但一種彩票的期望所得是可以預(yù)先算出的，計(jì)算期望所得也是設(shè)計(jì)一種彩票的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)期望以及概率論中其他概念在經(jīng)濟(jì)生活中類似的應(yīng)用問題還有很多很多，本文從中選取幾點(diǎn)，起到拋磚引玉的作用。愿我們的廣大學(xué)生和經(jīng)濟(jì)工作者，學(xué)好用好數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得更加有用，更好的為祖國(guó)的經(jīng)濟(jì)建設(shè)服務(wù)。

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