差分方程在經濟分析中的應用

[摘 要] 動態系統中變量間的關系往往表作一個（組）微分方程或差分方程，它們是兩類不同的方程，前者處理的是連續變量，而后者處理的則是依次取非負整數的離散變量，這兩類方程在經濟研究中有著重要的應用。本文著重介紹差分方程在經濟分析中的應用。

[關鍵詞] 差分方程 存(貸)款 消費 供需 數學模型

在經濟分析中往往需要尋找與問題有關的變量之間的函數關系，這類問題可用微分方程來解決，但是，許多實際問題中，數據大多是按時間間隔周期統計，因此，有關變量的取值是離散變化的，如何尋求它們之間的關系和變化規律呢?差分方程則是研究這類離散型數學問題的有力工具。

一、差分方程簡介

定義:含有未知函數差分或表示未知函數幾個時期值的符號的方程稱為差分方程，一般形式為F(χ，yχ，yχ+1，…，yχ+n)=0形如

yχ+1-ayχ=f(χ)(a≠0為常數)（1）

當f(χ)≡0，則yχ+1-ayχ=0 (2）

(1)式稱為一階常系數非齊次線性差分方程，(2)式稱為一階常系數齊次線性差分方程。對應于方程(2)的特征方程為λχ+1-aλχ=0，即λ-a=0，而λ=a為特征方程的根(簡稱特征根），從而Yχ=caχ(C為任意常數)是齊次方程(2)的通解。對于方程(1)設特解為Y*χ，若f(χ)=Pn(χ)，則方程(1)具有形如Y*χ=χkQn(χ)的特解，其中Qn(χ)是與Pn(χ)同次的待定多項式，而K的值由如下確定；

(1)若1不是特征方程的根，k=0，（2)若1是特征方程的根，k=-1故方程(1)的通解為yχ=Y*χ+Yχ

若f(χ)=μχPn(χ)型，此時方程(1)為yχ+1-ayχ=μχPn(χ)作變換令yχ=μχZχ則原方程為μZχ+1-aZχ=Pn(χ)，可得Z*χ，于是Y*χ=μχZ*χ。

二、差分方程應用舉例

1.存款模型

例1:設本金為P0，年利率為r，一年后本利和為S1，求n年末的本利和為多少。

解:∵Sn+1=Sn+rSn即Sn+1-(1+r)Sn=0，這是一個一階常系數齊次線性差分方程，其特征方程為λ-(1+r)=0，解得特征根為λ=1+r，于是齊次線性差分方程的通解為Sn=c(1+r)n，當c=S0時，Sn=S0(1+r)n，這就是初始存款S0，年利為r，按年復利計息，n年末的本利和公式。

2.貸款模型

例2:某房屋總價為a元，先付一半可入住，另一半由銀行以年利r貸款，n年付清，問平均每月付多少元？共付利息多少元？

解:設每個月應付χ萬元(貸款額為萬元），月利率是，第一個月應付利息為;，第二個月應付利息為;

于是類推可得;，即這是一個一階常系數非齊次線性差分方程，其對應的齊次線性差分方程的特征方程為，所以特征根為，其對應的齊次線性差分方程的通解為;。

由于1不是特征方程的根，于是令Y*t=a，代入原方程得，即χ=a，于是Y*t=χ，故原方程的通解為，當時，得，所以原方程滿足初始條件的特解為

于是n年利息之和為

上式中12nχ為還款總數，貸

款數，12nχ-是利息I。

故

即：

每月還款額=貸款本金×

這就是平均每月償還貸款本金和利息的計算公式。而利息I=12nχ-，即，

利息=每月還款額×貸款期數-貸款本金

3.消費模型

例3:設yt為t期國民收入，Ct為t期消費，I為投資(各期相同），設三者有關系yt=Ct+I。

Ct=ayt-1+β，且已知t=0時，yt=y0其中0＜a＜1，β＞0

試求yt和Ct。

解:由yt＝Ct＋I，Ct=ayt-1+β得yt-ayt-1=β+I這是一個常系數非齊次線性差分方程，其對應的齊次線性差分方程的特征方程為λ-a=0，得λ=a，于是方程的通解為Yt=Cat，由于1不是特征根，于是令Y*t=a，代入原方程得，因此，原方程的通解為，又由于t=0時，yt=y0求得，于是得到，上式即為t期國民收入隨時間t變化的規律。從而

4.供需模型

例4:某種商品t時期的供給量St與需求量Dt都是這一期價格Pi的線性模型;

St=-a+bpt(a，b＞0），Dt=C-dpt，(c，d＞0），設t時期的價格pt由t-1時期的價格Pt-1與供給量及需求量之差St-1-Dt-1按下述關系;Pt=Pt-1-λ(St-1-Dt-1)所確定，（其中λ為常量），即Pt-[1-λ(b-d)]Pt-1=λ(a+c)，

(1)求供需相等時的價格P0(稱為均衡價格）。

（2)求商品的價格隨時間的變化規律。

解:(1)由St=Dt，于是P0=

（2)由題設可得Pt-[1-λ(b+d）]Pt-1=λ(a+c)這是一個常系數非齊次線性差分方程，其對應的齊次方程的通解為Pt=A[1-λ(b+d)]t(其中A為任意常數），再求得非齊次方程的一個特解為P*t=，從而原方程的通解為Pt=+A[1-λ(b+d)]t這就是商品的價格隨時間t的變化規律。

參考文獻:

[1]吳傳生:經濟數學—微積分 北京 高等教育出版社，2003.6

[2]趙樹源 微積分:北京 中國人民大學出版社1987.12

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