共軸圓線圈和圓板的互感系數計算

摘要：本文給出了同軸圓線圈和圓板間互感系數的近似函數表達式。并用Matlab繪制了該互感系數隨線板間距離和圓板大小的變化曲線。此外，根據磁感應強度的解析表達式，計算了載流線圈的磁力線分布圖，分析了其磁感應強度的分布， 并給出了它的徑向分布曲線。

關鍵詞：載流線圈；磁矢位；互感；磁感應強度；磁力線

中圖分類號：TM452文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)28-0244-02

The Mutual Inductance Between Circle and Disk and The Analysis of Magnetic Flux Density

QIN Zhi-hao， JIANG Shi-qin

(School of Electronics Engineering， Tongji university， Shanghai 201804， China)

Abstract:An approximate formula and its parameters curve of the mutual inductance between a circle and a disk has been developed by us. In addition， using this formula we calculated and analyzed the distribution of magnetic flux line， the magnetic flux density and its strength curve along the x-axis， respectively.

Key words: current circle;magnetic vector potential;mutual inductance; magnetic flux density;magnetic flux line

1 引言

根據穿過任意固定回路的磁通量Φ與電流I成正比的關系，可以計算兩個圓線圈之間的互感系數。 然而，要用解析的方法求解圓線圈和圓板之間互感系數時會遇到橢圓積分的困難，很難得到其解析表達式。

本文假設圓板由一組緊密排列的圓線圈構成，給出了同軸圓線圈和圓板間互感系數的近似解析表達式。 計算了圓線圈和圓板之間的互感系數。 并給出了互感系數隨線板間距離和圓板大小的變化曲線。本文還從圓電流在空間任意點的磁矢位的一個近似表達式出發[1]， 給出了載流線圈磁感應強度的分布曲線，并對該計算結果作了說明。

2 圓電流在空間任意點的磁矢位[2-3]

圖1是X-Y平面上半徑為a的圓電流I的示意圖。用球面坐標表示θ， p(r，θ，Φ)為空間中某一點的位置。因為圓電流具有對稱性，在球面坐標系中產生磁場的磁矢位Ar，θ，Φ只有AΦ分量。AΦ是圖1中球面坐標系中變量r和θ的函數。根據這一性質，AΦ與直角坐標的Ay分量一致，它是電流元矢量Idl'的y分量adΦcosΦ所產生的磁矢位分量的總和。于是由畢奧-薩伐爾定律可以得到：

■（1）

其中，空間中P點到電流元的距離為R，到坐標原點的距離為r，圓線圈半徑為a=r' 。因為圖1中：

■

如果r>>a則

■

由圖1可知，

■

所以

■（2）

代入（1）可得球面坐標系中圓電流產生的空間磁場的磁矢位：

■（3）

3 同軸圓線圈和圓板的互感系數

因為半徑為a的載流線圈1在半徑為b線圈2面上激發的磁通為

■（4）

其中B1為線圈1在線圈2上產生的磁感應強度，A1為其磁矢位，S2為線圈2的面積。

將（3）代入（4）可得：

■（5）

我們假設有一半徑為b的圓板與圓線圈同軸，由于該圓板可以看作一組緊密排列的同心圓線圈，其半徑r的變化從0到b。于是可得到通過該板的總的磁通量：

■（6）

因此，同軸圓線圈和圓板的互感為：

■（7）

由于本計算結果是建立在r>>a的條件上的，為此，取a=0.01米，圓板半徑b=0.1米可繪出互感系數隨線板之間距離h變化的情況，如圖2所示。由圖可見互感系數隨線板之間的距離h增大而變小。

取a=0.01米， h=1.5米， 可繪出互感系數隨板徑b變化的情況，如圖3所示。由圖中曲線可知互感系數隨著板徑b的增大而增大。

4 載流線圈磁感應強度的分布

如圖4所示，圓電流在空間任一點p(r，θ，Φ)的矢量磁位為：

■

由文獻[1]可知：

■（8）

只有eΦ分量，表達式與方位角Φ無關。式中

■

從而可得圓電流在空間任意點的磁感應強度為：

■（9）

從而過任一點p(r，θ，Φ)的磁感應強度滿足方程：

■

可得：■（10）

其中C為常數。

按照參考文獻[1]，由公式（10）用Matlab軟件畫出載流線圈的磁力線分布圖，如圖5所示。

由圖5可見，載流線圈所激發的磁場強度的大小和分布。為了給出更加直觀的磁感應強度分布，首先給出磁感應強度的詳細表達式[1]：

在柱坐標系下，p(r，θ，Φ)空間中某一點的位置處的磁感應強度為：

■

經過計算可得：

■

結合上述兩個式子可得：

■（11）

根據式（11）可做出坐標z=0.1a，0.2a，0.3a，0.5a，a，1.5a時磁感應強度沿徑向的分布圖，如圖6所示。

圖中B0=μ0I/2πa。從圖6可知，當坐標x=2a時，磁感應強度就很小了。由于采用的是線電流模型，故離圓電流越近，如x=a，或x=-a，磁感應強度就越大。這在坐標z=0.1a的那條曲線上表現得特別明顯，如果取z=0，那么在x=a，或x=-a時，磁感應強度將為無窮大。

另外，也可以看出，當縱坐標z大于一定距離時，沿線圈軸向的磁感應強度大于同一z坐標其他地方的磁感應強度。

5 結論

本文從一個圓電流的矢量磁位出發，依照它在一個圓電流平面上產生的磁通量，給出了圓線圈與同軸圓板之間的互感系數的近似函數表達式。該計算公式的前提是，在電流元與原點的距離遠遠大于載流線圈的半徑。本文還根據磁感應強度的解析解畫出了磁感應強度沿徑向分布圖和載流線圈磁力線分布圖，并對磁感應強度大小的分布作了直觀地說明。

參考文獻:

[1] 張星輝，任意兩共軸圓線圈間的互感系數及磁感線分布.

[2] 路宏敏、趙永久、朱滿座，電磁場與電磁波基礎，北京：科學出版社.

[3] 周克定，電磁場與電磁波，北京：機械工業出版社.