基于標定物的相機標定及三維重建

摘要：針對傳統三維建模的局限性，討論了一種基于圖像建模的技術，提出了利用普通相機和標定物對物體進行三維建模的方法，該方法利用一個在左右圖像都存在的物體，對相機進行標定[1]。然后利用左右相機的相機矩陣，反算空間中的對應點和需要求取的關鍵點。最后利用這些點計算出來的空間位置[2]，對物體進行重建，并用OpenGL進行漫游顯示。實驗表明，該算法計算準確，魯棒性很高，能夠滿足于虛擬現實的需要。

關鍵詞：標定；標定物；三維重建；OpenGL

中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044(2008)11-20356-03

1 引言

三維建模的需求越來越多，通過建模軟件如AutoCAD，3Dmax等建模有時難以滿足現實需要。本文討論了一種基于圖像的建模。基于圖像建模，有很多方法，文獻[3-5]提出基于基本矩陣的方法進行分析。通過用普通數碼相機拍照，本文使用基于標定的方法，首先都左右相機進行標定，然后依據標定的相機，基于雙目計算空間點的位置，最后在OpenGL[6，7，8]中進行顯示，試驗表明本方法是切實有效的。

2 計算相機矩陣

若想由圖像像素位置計算出空間點的3D世界坐標，必須要知道攝像機矩陣。求攝像機矩陣的過程就是攝像機的標定過程，也就是建立圖像像素點位置與空間點位置之間的關系。這里，僅對線性模型攝像機標定做介紹。

由一對對應點能得到兩個線性方程，即由一個空間點位置和它相應的圖像像素位置可以建立兩個方程。而攝像機矩陣中包含有11個未知數，為了求出這11個未知數，必須至少有11個方程才能解出。因此，就需要至少6個已知的空間點。這些點叫做標定點，它們的特點是：其相對于世界坐標系的位置在標定時應精確測定；隨后用攝像機獲取這些點的圖像，得到標定點在圖像上的像素位置；最后通過解方程組，計算出攝像機矩陣，也就完成了攝像機的標定。在有些研究中可能需要知道攝像機的內外部參數，那么就可以通過分析攝像機矩陣，進一步得到這些內外部參數。在本文的實驗中，目的是計算空間點的世界坐標，只需要攝像機矩陣就足夠了，因此這里對于進一步分解攝像機矩陣不在做介紹。

設共有n個標定點，每個標定點的世界坐標為(xi，yi，zi)，圖像坐標為(ui，vi)，i∈[1，n]。由于一個標定點就對應兩個方程，因此最終有2n個線性方程，所得的方程組用矩陣形式表示為：

如果將上式左邊的2n×11矩陣設為K，c為未知的11維向量，U為上式右邊的2n維向量，K和U都是已知向量，那么上式就可以簡化成：

Kc=U

因為在上面已經提到本文實驗應用的是線性模型，所以也是用線性最小二乘法來求解。在標定過程中，標定點的個數越多，使得方程的個數大大超過未知數的個數，從而用最小二乘法求解以降低誤差造成的影響。當2n>11時，用最小二乘法求得的解為：

注：實際中可以在場景中放置一個盒子等物體，利用盒子邊界定點進行標定。如：利用圖像中左邊的煙盒對左右相機進行標定，就可以對場景中的其他物體（如右邊的鼠標盒子）進行計算邊界點的位置。

通過上面的步驟，已經對攝像機進行了標定，并得出了世界坐標系和實際長度之間的縮放比例，

3 計算空間點位置

已知了兩臺攝像機的攝像機矩陣，那么就可以由此光斑的像素點計算出對應的空間點3D世界坐標。設左右攝像機圖像上的像點坐標分別為[r1，c1]和[r2，c2]，待求光斑的空間點3D世界坐標為[x，y，z]。由可得：

由上面兩個公式，去掉齊次坐標s和t，就能得到下面的4個線性方程，其中包含有3個未知數x、y和z，也就是所要求的空間點3D世界坐標。顯然這個方程組是可以解出的。從光學的角度來說，就是兩條投影線空間相交，從而找到相交點的三維空間坐標。

通過求解上面的方程求解出世界坐標點[x，y，z]位置。

4 精度比較與分析

這種方法精度較高，適用面比較廣泛。拿盒子程序為例：

左邊是我們在標定相機過程中給出的真實位置點，右邊是利用上面的方法反算出標定物的位置點。

我們可以看出誤差比較大的點如劃線部分標出，誤差為0.568938/45≈1.2%，其他點的誤差基本上都在1.0%以下。由此可以看出此種方法精度還是相當高的。

5 OpenGL中的顯示

我們對首先利用一個箱子標定左右相機，然后跟據標定的相機，計算煙盒以及旁邊鼠標盒的坐標，最后進行的顯示，試驗截圖如下：

6 結論

隨著三維技術的發展，三維模型在各個領域中特別是虛擬現實[9，10]的應用越來越廣泛。通過實驗和精度分析，我們可以看出本文的方法是切實有效的，完全可以用于虛擬現實等的建模要求。

參考文獻：

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[8] (美)Richard S.Wright，Jr.Benjamin Lipchak.OpenGL寶典[M].第三版.人民郵電出版社，2005.

[9] 卞鋒，江漫清，桑永英. 虛擬現實及其應用進展[J].計算機仿真， 2007，06:1-4.

[10] 霍妍妍，李愛軍， 劉瑜. 虛擬現實技術發展綜述[C].第一屆中國圖學大會，2007:243-247.

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