“梯形的中位線”教學(xué)設(shè)計(jì)

一、設(shè)計(jì)思想

1.教材分析

“梯形的中位線”是蘇教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》八年級（上冊）第三章§3.6 三角形、梯形的中位線第二課時(shí)，是在學(xué)習(xí)了三角形中位線性質(zhì)等知識(shí)的基礎(chǔ)上提出的.梯形中位線性質(zhì)是梯形的重要性質(zhì)，是今后有關(guān)計(jì)算和論證的重要依據(jù).作為性質(zhì)教學(xué)課，對培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和分析問題、解決問題的能力有非常重要的作用.

2.學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)初步掌握了三角形中位線的性質(zhì)及其應(yīng)用，以此作為新知識(shí)的生長點(diǎn).讓學(xué)生多探索，多動(dòng)腦，促進(jìn)學(xué)生間的相互合作、交流.性質(zhì)的探究過程是對學(xué)生分析問題和解決問題能力的綜合考查，而八年級學(xué)生類比、猜想、分析、歸納的思維方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想的意識(shí)比較薄弱，預(yù)見能力和抗挫折能力較欠缺，自學(xué)較困難.

3.教學(xué)策略

“梯形的中位線”這節(jié)課是安排在“三角形的中位線”之后，教材反映在字面上的內(nèi)容較少，僅一個(gè)操作、一個(gè)概念、一個(gè)性質(zhì)、一個(gè)例題而已，為了創(chuàng)造性地使用教材，擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)容量和思維容量，有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，我抓住“三角形可以看作上底為0的梯形”這一知識(shí)生長點(diǎn)，通過類比、變式的方法，設(shè)計(jì)富有探究性的問題系列，力求形成“創(chuàng)設(shè)情境——建立模型——實(shí)驗(yàn)探究——推理論證——解釋應(yīng)用與拓展”的探究性教學(xué)過程.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.探索并掌握梯形中位線的概念、性質(zhì).

2.會(huì)利用梯形中位線的性質(zhì)解決有關(guān)問題.

3.經(jīng)歷探索梯形中位線性質(zhì)的過程，滲透轉(zhuǎn)化、類比、運(yùn)動(dòng)與變化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生分析、類比、猜想、歸納等思維方法.

4.通過梯形中位線性質(zhì)的推理論證，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的自主意識(shí)、合作精神，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心和克服困難的意志力.

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：梯形的中位線性質(zhì)及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：梯形的中位線性質(zhì)的推理論證.

四、 教學(xué)準(zhǔn)備

多媒體課件、含有梯形中位線的梯形硬紙片.

五、 教學(xué)過程

1.設(shè)計(jì)“最近發(fā)展區(qū)”，類比引入梯形中位線

（幾何畫板：如圖1，投影△ABC及其中位線EF.）

師：請看圖1，什么叫三角形的中位線？它有哪些性質(zhì)？從位置和數(shù)量上回答.

生：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

（幾何畫板：如圖2，動(dòng)畫演示點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，沿BC方向向右平移，△ABC變化為梯形ABCD，點(diǎn)F也隨之向右平移，得到圖3.）

師：數(shù)學(xué)中的很多圖形都是相互關(guān)聯(lián)的，由動(dòng)畫演示，三角形可以看作上底為0的三角形.觀察圖3，通過類比，你認(rèn)為應(yīng)該給線段EF取個(gè)什么名字合適？

生：梯形的中位線.

師：數(shù)學(xué)中的概念是不能僅靠觀察來描述，類比三角形中位線的定義，我們應(yīng)該怎樣給梯形的中位線下定義呢？

生：連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.

師：我們今天就來學(xué)習(xí)梯形的中位線.

（板書課題：梯形的中位線.）

[設(shè)計(jì)意圖：改變課本直接給出定義的做法，抓住三角形可以看作是特殊的梯形（上底為0）這一點(diǎn)，在復(fù)習(xí)三角形中位線的概念及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上，巧妙地借助幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，通過類比、擴(kuò)展，讓學(xué)生給梯形的中位線下定義，并為下一步探索梯形中位線性質(zhì)埋下伏筆，符合知識(shí)“最近發(fā)展區(qū)”的主動(dòng)建構(gòu)過程.]

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，觀察猜想性質(zhì)

師：同學(xué)們一定有很多業(yè)余愛好，大家下過跳棋嗎？

生：下過.（課件：出示跳棋棋盤圖.）

師：棋盤上的各個(gè)點(diǎn)之間是等距離的，行與行之間是平行的，我們不妨把兩個(gè)點(diǎn)之間的距離看作單位長度1，你能找出棋盤上蘊(yùn)涵著的圖形嗎？

生：棋盤上的點(diǎn)組成了三角形、四邊形、梯形等很多圖形.

（課件：出示圖4.）

師：非常好！利用這個(gè)圖形，能體現(xiàn)我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角形中位線的有關(guān)知識(shí)嗎？請你說說.

生：能，圖中中位線是一個(gè)單位長度，第三邊是兩個(gè)單位長度，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

師：棋盤中哪些點(diǎn)組成了梯形和它的中位線？請你到屏幕前找出來.

（生到屏幕前找圖形；課件：出示圖5、圖6.）

師：三角形中位線與第三邊存在位置和數(shù)量上的關(guān)系，梯形中位線有沒有類似的性質(zhì)呢？請結(jié)合圖形加以說明.

生：圖5中中位線的長為2，上、下底分別為1、3，上、下底之和為4，梯形的中位線正好等于兩底和的一半.

生：圖6中中位線的長為3，上、下底分別為2、4，上、下底之和為6，體現(xiàn)了梯形的中位線等于兩底和的一半.

[設(shè)計(jì)意圖：變直接拋出性質(zhì)為“創(chuàng)設(shè)情境——數(shù)學(xué)建模——觀察猜想”過程，凸顯探究、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和猜想能力.]

師：很好！你們還能在棋盤中找出其他含有梯形中位線的圖形嗎？是不是還有上面的發(fā)現(xiàn)？

生：能！（學(xué)生走到屏幕前找出圖形，教師出示圖7）這個(gè)圖和圖5形狀一樣，但位置不同.

師：很好！這位同學(xué)不受束縛，敢于創(chuàng)新，找到的梯形位置有所突破.以上我們發(fā)現(xiàn)的都是等腰梯形，同學(xué)們還能找到不同形狀的梯形及其中位線嗎？

生：能！（學(xué)生走到屏幕前找出圖形，教師出示圖8.）這是一個(gè)直角梯形，中位線的長為1.5，上、下底分別為1、2，上、下底之和為3，仍然體現(xiàn)了梯形的中位線等于兩底和的一半.

[設(shè)計(jì)意圖：通過變換角度，尋找形狀各異的梯形，可以打破學(xué)生的思維定勢，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，激活學(xué)生的思維，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新能力.]

師：由此我們得到一個(gè)什么猜想？

生：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半.

3.借助幾何畫板，動(dòng)態(tài)驗(yàn)證性質(zhì)

師：在特殊圖形中得到的猜想不一定具有一般性.我們可借助幾何畫板來檢驗(yàn)我們的猜想是否具有一般性.

（課件：出示圖9，在幾何畫板中拖動(dòng)梯形的各個(gè)頂點(diǎn)，利用幾何畫板計(jì)算功能顯示梯形中位線、上底+下底、■的數(shù)值變化.）

師：在梯形形狀和大小發(fā)生變化的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：梯形中位線（mEF）、上底+下底（mAD+mBC）都在變化，但的值始終沒有發(fā)生變化.

[設(shè)計(jì)意圖：借助幾何畫板的計(jì)算功能發(fā)現(xiàn)變中有不變，從數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的視角驗(yàn)證了猜想的正確性.]

4.依托操作活動(dòng)，推理論證性質(zhì)

師：通過幾何畫板的動(dòng)態(tài)演示，我們從實(shí)驗(yàn)的角度發(fā)現(xiàn)我們的猜想是正確的.但我們數(shù)學(xué)中的猜想還需經(jīng)過推理論證才能說明其正確性.要證明此猜想，首先要將該猜想用數(shù)學(xué)語言表述出來，怎么表述呢？

生：已知，（如圖10）梯形ABCD中，AD∥BC，AE=BE，DF=CF.說明：（1）EF∥BC；（2）EF= BC+AD）.

師：觀察結(jié)論的特征，你能想到要證梯形中位線問題需要轉(zhuǎn)化成什么問題？轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是什么？

生：應(yīng)該轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的三角形中位線問題.

師：怎樣添加輔助線才能將梯形轉(zhuǎn)化為三角形呢？請大家獨(dú)立思考.

（讓學(xué)生獨(dú)立思考大約3分鐘.）

[設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)獨(dú)立思考及探究的時(shí)間和空間，讓學(xué)生充分感知了困難、嘗試了困難，為進(jìn)一步探究奠定了基礎(chǔ)，有利于增強(qiáng)學(xué)生克服困難的意志力.]

師：請大家拿出課前準(zhǔn)備好的含有梯形中位線的梯形硬紙片，以4人小組為單位，動(dòng)手操作，試把梯形硬紙片剪成兩部分，使分成的兩部分能拼成一個(gè)三角形.

（學(xué)生以四人小組為單位進(jìn)行操作活動(dòng)，教師一方面作為組織者加強(qiáng)巡視，及時(shí)捕捉各組的信息，一方面作為合作者積極參與學(xué)生的討論，及時(shí)了解學(xué)生遇到的困難，有針對性地進(jìn)行指導(dǎo).請學(xué)生到前面說明拼圖的方法，如圖11.）

[設(shè)計(jì)意圖：通過設(shè)置拼圖活動(dòng)和合作交流的過程，為添加輔助線把梯形中位線轉(zhuǎn)化為三角形中位線做好鋪墊.]

師：通過剛才的操作，你能添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為三角形嗎？

生：能！連接AF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G，那梯形的中位線EF就變?yōu)椤鰽BG的中位線.

師：非常好！你們會(huì)說明猜想的正確性了嗎？請一位同學(xué)到黑板上把推理的過程寫出來，其他同學(xué)在下面完成.

（一位學(xué)生板演，其他學(xué)生在下面完成.）

5.編制變式訓(xùn)練，優(yōu)化思維品質(zhì)

例1：如圖12，梯子各橫木間互相平行，且A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，B1B2=B2B3=B3B4=B4B5.已知橫木A1B1=48cm，A5B5=32cm.求橫木A2B2、A3B3 、A4B4的長.

變式1若A1B1=48cm，A2B2=44cm.求橫木A3B3 、A4B4 、A5B5的長.

變式2若A1B1=48cm，A4B4=36cm.求橫木A2B2 、A2B2 、A5B5的長.

變式3若A1B1+ A5B5=80cm，求A2B2+A4B4的長.

[設(shè)計(jì)意圖：抓住性質(zhì)的條件“中點(diǎn)”這一特征，通過增加中點(diǎn)的個(gè)數(shù)、改變線段的角色（已知或未知）等來建構(gòu)問題的梯度，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生從復(fù)雜圖形中分解基本圖形的能力.]

6.模擬數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)

例2：一場大雪過后，天氣變晴.由于受太陽直接照射，一堆被深雪覆蓋的木材（木材的粗細(xì)相對均勻，整堆木材的橫截面成梯形狀）漸漸露出了頂層（如圖13），若該堆木材共有6層.請根據(jù)現(xiàn)有的信息，試估計(jì)這堆木材的根數(shù).

[設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生日常生活中的問題出發(fā)，以本節(jié)知識(shí)為載體建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程.]

7.反思小結(jié)，重構(gòu)知識(shí)體系

（1）請學(xué)生填寫表格，比較三角形中位線和梯形中位線的定義和性質(zhì).

（2）利用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示（如圖14），將梯形的上底的一個(gè)頂點(diǎn)沿上底運(yùn)動(dòng)，上底趨于零，則梯形就變成三角形，梯形中位線就成了三角形中位線；反之，就將三角形變成梯形.

（3）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

六、教學(xué)反思

通過教學(xué)實(shí)踐，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本都能探究得到梯形中位線的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)解決簡單的問題.用學(xué)生非常熟悉的跳棋棋盤圖來體現(xiàn)抽象知識(shí)的認(rèn)知過程，不僅使課堂教學(xué)生動(dòng)活潑，而且產(chǎn)生很強(qiáng)的啟迪，有助于學(xué)生理解問題的實(shí)質(zhì).

在引入和小結(jié)中利用多媒體動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生在運(yùn)動(dòng)變化中理解三角形中位線與梯形中位線的聯(lián)系和區(qū)別，首尾呼應(yīng)，均有利于學(xué)生對知識(shí)的構(gòu)建.

在發(fā)現(xiàn)梯形的中位線性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，讓學(xué)生在棋盤圖中找出不同位置、不同形狀的梯形，訓(xùn)練學(xué)生的分散思維和求異思維.

在教學(xué)梯形中位線性質(zhì)的論證這個(gè)難點(diǎn)時(shí)，通過精心設(shè)計(jì)的問題讓學(xué)生去操作、思考、討論、探索、發(fā)現(xiàn)，并加以啟示和點(diǎn)撥，特別注重學(xué)生的獨(dú)立探索和思考，在課堂內(nèi)最大限度地給學(xué)生創(chuàng)造思維自由馳騁的時(shí)間和空間.

（作者單位：江蘇省泰興市姚王鎮(zhèn)中心初中）