股票價格服從不對稱跳躍—擴散過程的期權定價模型

摘要：經典期權定價公式B－S模型假設股票價格服從連續的幾何布朗運動，然而，經驗研究表明股票價格常常發生跳躍式的變化，這主要是由于股市上常出現一些重大的事件導致的。通過對期權市場出現的“隱含波動率微笑”現象進行觀察和研究，可以發現引起股票價格上升或者下跌的跳躍式變化往往是不對稱的。為簡單起見，在假設跳躍幅度服從均勻分布假設前提下，初步建立起股票價格服從不對稱跳躍－擴散過程期權定價模型。

關鍵詞：隱含波動率；不對稱跳躍—擴散過程；期權定價

中圖分類號：F830.91文獻標志碼：Ａ文章編號：1673-291X(2008)18-0088-03

一、引言

對期權定價理論的研究可以追溯到19世紀的法國數學家巴舍利爾，然而，直到20世紀70年代初，才由Black、Scholes和Merton 三位教授在期權定價方面取得了突破性進展，推導出了標的資產為不支付紅利股票的歐式期權定價公式，即B-S公式。在該定價公式中，股票價格遵循的是一種稱之為幾何布朗運動的連續隨機過程。在隨后的二十幾年中，許多學者對其進行了各種推廣，其中最著名的就是Merton的隨機利率模型和Cox、Ross波動率彈性常數模型。所有這些理論模型都有一個基本假設前提，那就是股票價格行為都被假定為服從連續隨機過程。

根據常數波動率假設，同種標的資產的期權應有相同的隱含波動率，但是實證研究表明，同種標的資產、相同到期日的期權，執行價偏離標的資產價格越多，隱含波動率往往越大（如右圖1）（因其形似一個人微笑時兩端上翹的嘴唇，被稱為“波動率微笑”）；有時股票期權的隱含波動率曲線也可能出現歪斜（如右圖2）（稱為“假笑”）。

針對“隱含波動率微笑”這種現象，很多學者對此做了有意義的研究。Heston（1993）指出，造成“隱含波動率微笑”發生可能是由于股票價格的非連續變化過程所造成，并提出仿射隨機波動率跳躍——擴散過程；隨后，Scott（1997）建立了具有隨機波動率和利率的跳躍—擴散模型， Hull和White（1987）、Engle（1995）和Fouque 等人（2000）建立了隨機波動率和ARCH模型，Geman 等人（2001）建立了基于Levy過程的定價模型，Derman 和Kani（1994）建立了“隱含二叉樹”的數值模型等，這些模型都是從不同的角度對“隱含波動率微笑”進行了一定的探討和研究。本文在沿用前面的研究成果基礎上，結合中國股市實際情況，假設股票價格的跳躍變化分別滿足不同的分布，進而建立股票價格服從不對稱跳躍—擴散過程的模型，并通過無套利均衡分析推導出期權價值應滿足的偏微分方程。

二、股票價格行為模型

三、基于股票的期權價格行為模型

四、總結

本文針對中國股市的實際情況，通過一些簡單的假設運用無套利分析原理建立起股票價格服從不對稱跳躍—擴散過程的期權定價方程式，在國內尚屬首次，是一次有意義的探索。但是，同時我們也看到，這里給定的指數分布和均勻分布還比較簡單，該期權定價方程式能否最終得到市場認可，還需要經過后繼實證檢驗。其次，雖然我們給出了期權定價所滿足的偏微分方程式，但最后能否得到期權定價解，仍然是一個值得研究的課題。

參考文獻：

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Options Pricing Model Based on Asymmetric Jump Diffusion Process

LI Chang-lin， DING Ke-quan

（Department of Applied Mathematics， DLUT， Dalian 116024， China）

Abstract： The B-S model is based on GB process， but in fact stock price often jumps when some important information arrives at the stock market. By studying the empirical phenomena of \"implicated volatility smile\"， we find that the change of the stock's price is asymmetric when it jumps up or down. The article presents the model of asymmetric jump-diffusion option pricing on the assumption that the relative height of jump follows union distribution simply.

Key words： implicate volatility smile； asymmetric jump-diffusion process； option pricing