有關擺球做小角度擺動是簡諧運動的探討
2008-12-31 00:00:00王艷菊
物理教學探討 2008年17期
單擺在小角度擺動時，忽略空氣阻力等的影響可視為簡諧運動，這在人教版及滬科版教材中都有理論推導證明。但是，都采取了多次近似的方法，即當角度很?。ㄒ话阏J為角度小于或等于5°）時，該角度的弧度值與其正弦值近似相等，該角度所對應的弧長約等于弦長；另外，圓弧上任一點的切線方向與弦所在直線方向也趨于一致。具體證明如下：
如圖1所示，O為單擺運動的平衡位置，l為單擺擺長；當擺球運動到任意位置P時，擺球受到的回復力是其重力G沿著圓弧切線方向的分力G1，F=G1=mgsinθ。
注意此處為第一次近似，方向近似，回復力的方向本應為PO→，由于θ很小，PO→方向與G1→方向趨于一致。
如圖2所示，在擺角θ很小時，則有sinθ≈θ≈OP⌒l，并且位移x≈OP⌒，考慮了位移和回復力的方向后，有F=-mgxl，其中mgl可以用一個常數k來表示，則上式又可以寫成F=-kx。
這就是說，在擺角很小時，單擺所受到的回復力跟位移成正比而方向相反，所以單擺作簡諧運動。
本人認為，上述證明方法盡管采取了多次近操作，由于每次操作都是在誤差允許范圍內的，最終結果比較準確。但是，整個證明過程總讓人感覺有點牽強附會，經過再三思索之后，我認為用下面的方法證明避免了幾次近似，有異曲同工之效。下面就將具體證明過程展現給大家。
如圖3所示，O為單擺運動的平衡位置，l為單擺擺長，P為擺球運動中的任意位置，在P處小球所受的回復力F應為由P指向O的某一分力；又知擺球受到重力G和繩的拉力T。
當小角度擺動時，當小球經過平衡位置時，它所受的向心力為：
F=mv2l，①
又12mv2=mgl(1-cos5°)。②
由①②得，F=2mg(1-cos5°)=7.61×10-3mgmg。
由以上表達式可知，當最大擺角越小時，擺球做圓周運動所需要的向心力就越小。所以，當小角度擺動時，擺球作圓周運動所需要的向心力完全可以忽略。我們就可以近似的認為繩的拉力與重力的合力提供擺球作簡諧運動的回復力，由上圖中力三角形與幾何三角形AOP相似，得：
Fmg=xl，所以F=xlmg。
考慮回復力與位移方向之間的關系，其矢量表達式為：F=-mglx。
令mgl=k，則F=-kx。
由上面表達式可以清楚看出擺球在小角度擺動時做簡諧運動。
綜上所述，對比兩種證明過程可以看出，都采取了近似的思想，但所論證的角度不同，第一種方法重在幾何意義上的近似，而第二種方法更注重物理內涵的挖掘。從本質意義上而言，擺球在運動時能不能看成簡諧運動，取決于擺球受力方面能不能忽略向心力，從運動的角度能不能忽略擺球做圓周運動。
(欄目編輯羅琬華)
