探討兩物體分離時的臨界條件
2008-12-31 00:00:00李先全
物理教學探討 2008年17期
臨界條件是高中物理高考和競賽中經常涉及的問題，它往往與連接體問題密不可分。通常，兩物體分離時的臨界條件必需同時滿足三大條件：
第一，物體間剛好無相互作用力；
第二，兩個物體的速度（或在垂直與接觸面方向上的分速度）相等；
第三，兩個物體的加速度（或在垂直與接觸面方向上的分加速度）相等。
前面兩個條件是同學們很容易想到的，而第三個條件往往被大家忽略，但這卻是實實在在的條件。
例1 （2005年全國卷第24題）如圖1所示，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向。現在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續上升。若將C換成另一個質量為(m1+m3)的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離地時D的速度的大小是多少？已知重力加速度為g。
分析 結合分離時的三大臨界條件，B剛要離開地面時，B和地之間無相互作用力；B和地的速度相同，都為零；B和地的加速度也相同，都為零，所以B與地分離時處于平衡狀態。
解答 開始時，A、B靜止，設彈簧壓縮量為x1，有：
kx1=m1g。①
掛C并釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧伸長量為x2有：
kx2=m2g。②
B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點。由機械能守恒，與初始狀態相比，彈簧勢能的增加量為：
ΔE=m3g(x1+x2)－m1g(x1+x2)。③
C換成D后，當B剛離地時彈簧勢能的增量與前一次相同，由能量關系得：
12(m3+m1)v2+12m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-ΔE。④
由③、④式得：
12(2m1+m3)v2=m1g(x1+x2)。⑤
由①、②、⑤式得:
v=2m1(m1+m2)g2(2m1+m3)k。⑥
例2 （湖南省高中物理競賽試題）如圖2（a）所示，長為L的輕桿上端有一個質量為m的小球A，桿用鉸鏈固定在C點，并處于豎直位置；小球與質量為M的光滑立方體木塊B相接觸，水平面是光滑的，由于微小的擾動而使輕桿向右傾倒，試問：如果當桿與水平面成30°角時，A、B剛好相分離，那么A、B的質量之比M/m為多少？這時立方體的速度v2為多少？
分析 由于水平面是光滑的，當桿向右傾倒時，桿必然推著B向右運動，使木塊獲得向右的速度；當B運動到一定位置時，小球A和木塊B開始分離，顯然A、B分離滿足一定的條件。分離時，A、B間將不再有相互作用，A、B在水平方向上具有相同的速度和相同的加速度，這時，A繞鉸鏈點C做圓周運動，而B在水平方向上做勻速直線運動，如圖2（b）所示。A的水平分速度為v11=v2，水平分加速度a11 =a2=0。
解答 由系統的動能定理得：
mgL2=12mv21+12Mv22。①
由分離條件得：
v11=v2=12v1。②
由于分離時，A做圓周運動，則：
mgcos60°=mv21L。③
由以上①、②、③式解得：
M/m=4，v2=142gL。
說明 在本題中，兩物體分離時水平分加速度相等是解題的關鍵，由于B分離時水平勻速運動，無加速度，所以A此時也無水平加速度，A受力的合力只能沿豎直方向。又因為二力輕桿的存在，若桿對A有作用力，則作用力的方向只能沿桿斜向上（否則A的角加速度會無窮大），顯然不滿足A的受力要求，故在分離時桿對A無作用力，從而可得出③式。
(欄目編輯羅琬華)
