混沌現(xiàn)象的兩種演示方法

摘要：本文介紹了混沌現(xiàn)象及通過(guò)兩個(gè)經(jīng)典的混沌實(shí)例，用兩種不同的方法展示混沌行為，從而讓學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象有一個(gè)直觀(guān)的了解。

關(guān)鍵詞：混沌；Lorenz系統(tǒng)；Chua電路；數(shù)值仿真；電路實(shí)驗(yàn)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-6148(2008)9(S)-0019-3

混沌是不含外加隨機(jī)因素的完全確定性的系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的界于規(guī)則和隨機(jī)之間的內(nèi)秉隨機(jī)行為，是自然界普遍存在的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形式之一。“混沌”一詞最早出現(xiàn)在中國(guó)和希臘的神話(huà)故事中，本意是“雜亂無(wú)章、混亂無(wú)序”。在人們?nèi)粘Ｉ钪械脑S多自然現(xiàn)象，如：鐘擺的擺動(dòng)、岸邊海浪的破碎、漂浮的云彩、大氣和海洋的異常變化、宇宙中的星團(tuán)，甚至經(jīng)濟(jì)的波動(dòng)和人口的增長(zhǎng)等，它們看似雜亂無(wú)章的表面現(xiàn)象，卻蘊(yùn)涵著驚人的運(yùn)動(dòng)規(guī)律［1-4］。

本文主要介紹兩種展示混沌現(xiàn)象的不同方法，可以讓學(xué)生直觀(guān)地了解和觀(guān)察混沌這個(gè)特殊的物理現(xiàn)象。

1 兩個(gè)典型的混沌系統(tǒng)及演示方法

我們介紹兩個(gè)經(jīng)典的混沌系統(tǒng)：第一個(gè)在耗散系統(tǒng)中由一個(gè)確定的三階常微分方程導(dǎo)出混沌解的實(shí)例-Lorenz系統(tǒng)和第一個(gè)用電子元件實(shí)現(xiàn)的混沌系統(tǒng)-Chua電路。為了方便學(xué)生直觀(guān)地觀(guān)察到混沌現(xiàn)象，我們?cè)诮虒W(xué)中可以用兩種不同的方法來(lái)展示，即數(shù)值仿真和電路實(shí)驗(yàn)方法，下面分別介紹。

1.1 Lorenz系統(tǒng)

Lorenz系統(tǒng)是美國(guó)氣象學(xué)家E. N. Lorenz在1963年提出的， Lorenz在研究大氣環(huán)流模型的過(guò)程中，提出了“決定論非周期流”的觀(guān)點(diǎn)，給出了著名的洛倫茲方程，用于刻畫(huà)熱對(duì)流不穩(wěn)定性的模型，這是第一個(gè)在耗散系統(tǒng)中由一個(gè)確定的三階常微分方程導(dǎo)出混沌解的實(shí)例［5，6］。這一結(jié)果解釋了長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)沒(méi)有獲得成功的內(nèi)在機(jī)理，根本原因是確定性動(dòng)力系統(tǒng)中存在著混沌運(yùn)動(dòng)。洛倫茲在發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌吸引子的同時(shí)，還進(jìn)一步揭示了混沌運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征。

Lorenz 系統(tǒng)起源于大氣對(duì)流模型，但事實(shí)上是幾個(gè)物理系統(tǒng)的共同簡(jiǎn)化模型，如激光裝置、磁流發(fā)電機(jī)及幾個(gè)相關(guān)的對(duì)流問(wèn)題。Lorenz系統(tǒng)可以由以下方程來(lái)描述：

=a(y-x)，=cx-xz-y，=xy-bz。(1)

當(dāng)參數(shù)取值為：a=10、b=8/3和c=28時(shí)，Lorenz系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生混沌行為。教師可以調(diào)用Matlab軟件中的ODE45函數(shù)對(duì)Lorenz方程進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果如圖1所示。圖1 (a)所示為L(zhǎng)orenz方程三個(gè)變量隨時(shí)間演化的波形圖，從圖中可以看出其波形具有類(lèi)似噪聲的特點(diǎn)。圖1 (b) ~(d) 為L(zhǎng)orenz系統(tǒng)變量之間的李沙育相圖，其運(yùn)動(dòng)軌道局限于一個(gè)確定的區(qū)域內(nèi)無(wú)限不重復(fù)地填充，這些都是混沌的顯著特點(diǎn)。

1.2 Chua電路

為了使學(xué)生對(duì)混沌現(xiàn)象有更直觀(guān)的認(rèn)識(shí)，我們可以用電路實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過(guò)示波器觀(guān)察混沌現(xiàn)象。Chua電路是第一個(gè)用電子元件實(shí)現(xiàn)的混沌系統(tǒng)，是由美籍華人科學(xué)家蔡少棠(L.O.) 提出的。1983年，Chua在訪(fǎng)問(wèn)日本期間，用電子線(xiàn)路模擬Lorenz方程嘗試無(wú)效后，他意識(shí)到在分段線(xiàn)性電路中能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，并認(rèn)為電路應(yīng)該至少擁有兩個(gè)平衡點(diǎn)：一個(gè)平衡點(diǎn)實(shí)現(xiàn)伸展，另一個(gè)平衡點(diǎn)實(shí)現(xiàn)軌線(xiàn)的折疊。他帶著這種洞察力，系統(tǒng)地鑒別了那些三維分段線(xiàn)性電路，（包括能產(chǎn)生混沌的由電壓控制的單個(gè)非線(xiàn)性電阻）從而確定了選擇電壓控制非線(xiàn)性電阻的策動(dòng)點(diǎn)(driving point， DP)特性來(lái)產(chǎn)生至少兩個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。1983年底，蔡氏電路的發(fā)明，分別被計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬和用實(shí)際的電子元件實(shí)現(xiàn)。蔡氏電路于1986年被證明在Shilnikov意義下確實(shí)存在混沌現(xiàn)象，從而開(kāi)始了混沌研究的新篇章。

蔡氏電路是一個(gè)三維自治振蕩系統(tǒng)，是由四個(gè)元器件：電感L，電阻R、電容C1和C2，以及一個(gè)被稱(chēng)為蔡氏二極管的非線(xiàn)性電阻RN所構(gòu)成的一個(gè)簡(jiǎn)單的電子電路，如圖2所示。我們知道，由電感、電阻和電容構(gòu)成的自治電路如果要產(chǎn)生混沌，必須滿(mǎn)足三個(gè)條件：(1)至少要有一個(gè)非線(xiàn)性元件；(2)至少要有一個(gè)局部活動(dòng)性電阻；(3)至少要有三個(gè)儲(chǔ)能元器件。蔡氏電路是滿(mǎn)足這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的簡(jiǎn)單的電子電路。在實(shí)際的蔡氏電路中，蔡氏二極管可以用兩個(gè)運(yùn)算放大器和6個(gè)電阻來(lái)實(shí)現(xiàn)，如圖3所示。元器件參數(shù)的選擇為：運(yùn)算放大器為AD712，電阻：R=1 850Ω，R1=3.3kΩ，R2=R3=22kΩ，R4=2.2kΩ，R5=R6=220Ω，電感：L=18mH。

蔡氏電路可以由下列動(dòng)態(tài)方程來(lái)描述：

dU1dt=1RC1(U2-U1)-1C1f(U1)，

dU2dt=1C2I3-1RC2(U2-U1)，

dI3dt=-1LU2。

(2)

其中，U1、U2和I3分別是電容C1、C2兩端的電壓和流過(guò)電感L的電流，f(U1)是描述非線(xiàn)性電阻NR的I-U特性的分段線(xiàn)性多項(xiàng)式：

f(U1)=GbU1+12(Ga-Gb)［｜U1+E｜-

｜U1-E｜］。(3)

其中，Ga和Gb分別表示I-U特性線(xiàn)段的斜率，E為折點(diǎn)電壓。

在示波器上可以很容易地觀(guān)察到混沌吸引子：圖4(a)和(b)所示分別為Chua電路中R=1 850Ω、R=2kΩ 時(shí)，展示出雙渦卷和單渦卷混沌吸引子2 分析和討論

混沌現(xiàn)象揭示出客觀(guān)事物確定性和隨機(jī)性的統(tǒng)一，并在確定論和概率論這兩大學(xué)科體系之間架起了橋梁?；煦缈茖W(xué)的研究越來(lái)越受到人們的重視，第一次混沌國(guó)際會(huì)議主持人，物理學(xué)家J.Ford認(rèn)為混沌是20世紀(jì)物理學(xué)第三次最大的革命。近年來(lái)，混沌科學(xué)正逐步從單純的科學(xué)探索過(guò)渡到實(shí)際工程的應(yīng)用階段。有的國(guó)家已將混沌在工程中的應(yīng)用研究轉(zhuǎn)化為機(jī)電產(chǎn)品， 如日本三洋公司的混沌暖風(fēng)機(jī)，松下公司的混沌洗碗機(jī)；韓國(guó)L G公司的混沌空調(diào)機(jī)及混沌洗衣機(jī)已進(jìn)入了家電市場(chǎng)，并以其良好的性能(空調(diào)更柔和， 洗衣更清潔) 提高了與同類(lèi)產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)力。我國(guó)混沌科學(xué)也獲得了蓬勃的發(fā)展，其中混沌應(yīng)用在與眾多領(lǐng)域廣泛交叉研究中，取得了多方面的豐碩成果。由于現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)是非線(xiàn)性的，所以隨著混沌科學(xué)研究的日益深人，人們對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)將會(huì)不斷深化，利用混沌的性質(zhì)來(lái)解決更多工程實(shí)際問(wèn)題，將是一個(gè)非常有發(fā)展前途的研究和應(yīng)用領(lǐng)域。

參考文獻(xiàn)：

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［6］Colin Sparrow. The Lorenz Equations: Bifurcations， Chaos， and Strange Attractors. New York. Springer-verlag New York Inc. 1982.

(欄目編輯黃懋恩)