兩個(gè)小球不同時(shí)落地

例 如圖1所示，在長(zhǎng)為l的輕繩兩端各拴一個(gè)小鐵球A和B，一人拿著繩一端的小球站在三層樓的陽(yáng)臺(tái)上，使下端的小球與陽(yáng)臺(tái)上檐齊平，放手讓兩小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，兩球相繼落地的時(shí)間差為Δt；如果站在四層樓的陽(yáng)臺(tái)上，做同樣的實(shí)驗(yàn)，那么兩小球相繼落地的時(shí)間差Δt′與Δt相比較將( )

A.不變。B.變大。

C.變小。D.無(wú)法判斷。

解法1 一般物理方法

令三層樓陽(yáng)臺(tái)上檐離地高度為h，A、B一道從三層樓陽(yáng)臺(tái)上自由下落，令B剛觸地時(shí)A的速度為vA，則：vA2=2gh，vA=2gh。

同理，令四層樓陽(yáng)臺(tái)上檐離地高度為h′，A、B一道從四層樓陽(yáng)臺(tái)上自由下落，令B剛觸地時(shí)A的速度為v′A，則有：

v′2A=2gh′，

因h′＞h，故vA′＞vA。

A從B剛觸地到A剛觸地的過(guò)程中，A做初速度為v′A加速度為g的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

從三樓下落，l=vAΔt+12g(Δt)2，

從四樓下落，l=v′AΔt′+12g(Δt′)2。

因v′A ＞vA，故Δt′＜Δt，選(C)。

解法2 v-t圖像法 

如圖2所示，第一種情況下，令A(yù)、B從開(kāi)始下落到相繼落地的時(shí)間分別為tA、tB，則A、B相繼落地的時(shí)間差：

Δt=tA-tB。

第二種情況下，令A(yù)、B從開(kāi)始下落到A、B相繼落地的時(shí)間分別為t′A、t′B，則A、B相繼落地的時(shí)間差：

Δt′=t′A-t′B。

不妨令h′＞h+l，

作v-t圖線(xiàn)：

數(shù)值上△OBtB面積與h相等，梯形ABtBtA面積與l相等。△OB′t′B面積與h′相等，梯形A′B′t′Bt′A面積數(shù)與l相等。易知Δt′＜Δt，答案選C。

解法3 函數(shù)單調(diào)性

A、B兩球從高為h的三層樓陽(yáng)臺(tái)上一道自由下落時(shí)，令A(yù)經(jīng)時(shí)間tA落地，B經(jīng)時(shí)間tB落地，落地時(shí)間差為Δt。

Δt=tA-tB，

h=12gt2B，h+l=12gt2A，

Δt=2(h+l)g-2hg。

同理：Δt′=2(h′+l)g-2h′g。

其中h′＞h＞0，

Δt′-Δt=2(h′+l)g-2h′g-2(h+l)g+2hg=(2(h′+l)g-2(h+l)g)+(2hg-2h′g)=2g(h′-h)(1h′+l+h+l-1h′+h)。

因h′＞h＞0且l＞0，

故Δt′-Δt＜0，Δt′＜Δt。故答案選C。

解法4 特殊值法

h取9.9m，h′取13.2m，l取1m，g取9.8m/s2。

Δt=2(h+l)g-2hg≈0.070s，

Δt′=2(h′+l)g-2h′g≈0.061s。

故Δt′＜Δt。故答案C。

解法5 實(shí)驗(yàn)法

用l=1m長(zhǎng)的輕繩連接A、B兩小球，一位同學(xué)分別登上三層樓和四層樓的陽(yáng)臺(tái)上讓A、B球一道自由落體，另一位同學(xué)在樓下用秒表記錄兩種情況下A、B相繼落地時(shí)的時(shí)間差Δt、Δt′，比較數(shù)值獲得結(jié)論。

由解法4可知，Δt和Δt′都很小，難以測(cè)量，故本解法不適用。

解法6 Excel仿真法

由解法3可知：

Δt=2(h+l)g-2hg。

令2hg=x，Δt=y，

則本問(wèn)題抽象為：

y=x+a-x。

其中x＞0，a為大于0的常數(shù)。

a取某一數(shù)值，取一系列的x，得到對(duì)應(yīng)的一系列的y，描點(diǎn)可得x-y圖像，如圖3所示，易知x↑，y↓，也即h↑時(shí)，Δt↓。

改變a的值，可獲得一系列的x-y圖線(xiàn)，如圖觀察可知，隨著x↑，y↓。故Δt′＜Δt。故答案選C。

(欄目編輯羅琬華)