形似而神不似
2008-12-31 00:00:00吳來初
物理教學探討 2008年23期
題目 一個磁感應強度為B的均勻磁場，垂直于一軌距為l的導軌平面，軌道平面與水平面有α的傾角，軌道電阻不計。一根無摩擦的導體棒，質量為m，橫跨在兩根金屬導軌上，如圖1所示。現無初速度釋放導體棒。
(1)若兩金屬軌之間接有阻值為R的電阻，求棒的穩定運動狀態；
(2)若兩金屬軌之間接電動勢為E，內阻為r的電源，如圖2所示，求棒的穩定運動狀態；
(3)若兩金屬軌之間接有電容C，求棒的穩定運動狀態；
(4)若兩金屬軌之間接有電感L，求棒的穩定運動狀態。
分析與解 (1)剛釋放導體棒時，導體棒受到一個沿導軌向下的重力的分力，
F=mgsinα。
此時棒的加速度為：
a=gsina。
導體棒運動后，產生動生電動勢Blv，回路中就產生感應電流，這使棒受到與F力反向的安培力Fm，從而使合力減小，導體棒做加速度減小的變速運動，當Fm=mgsinα時加速度減為零、棒達到收尾速度vm。
B#8226;BlvmRl=mgsinα，
可得收尾速度為：
vm=mgRB2l2sinα。
(2)剛釋放導體棒時，導體棒受到一個沿導軌向下的重力的分力F1和安培力F2，則有
F1=mgsinα，
F2=BErl。
此時棒的加速度為：
a=gsinα+BElmr。
導體棒運動后，產生動生電動勢E′=Blv，與電源電動勢反向，回路電流減小。當動生電動勢等于電源電動勢時，I=0，加速度減小到gsinα。此后，速度繼續增大，動生電動勢大于電源電動勢，電流反向，安培力向上，導體棒做加速度減小的運動，當Fm=mgsinα時加速度減為零、棒達到收尾速度vm，
B#8226;Blvm-Erl=mgsinα，
可得收尾速度為：
vm=mgrsinα+BlEB2l2。
若電源與圖示方向相反，則收尾速度為：
vm=mgrsinα-BlEB2l2。
(3)剛釋放導體棒時，導體棒受到一個沿導軌向下的重力的分力，
F=mgsinα。
此時棒的加速度為
a=gsinα。
運動的棒產生的動生電動勢對電容器充電，充電電流為
i=C#8226;ΔεΔt=C#8226;BlΔvΔt。
隨著棒速度增大，棒上電動勢不斷增大，能持續充電，因而使棒總受到與F力反向的安培力Fm，棒的動力學方程為
mgsinα-BlCBlΔvΔt=ma，
即mgsinα-B2l2C a=ma。
可見棒以加速度a=mgsinαm+B2l2C做勻加速運動。
(4)導體棒與電感線圈構成回路，棒的初始加速度a=gsinα。
開始運動后，隨著速度增大，產生的動生電動勢增大，增大的電流通過電感線圈，使線圈兩端的電壓隨動生電動勢而增大，電壓與電流有關系Blv=LΔIΔt，即
ΔI=BlvΔtL=BlLΔx。
因初始時I=0，x=0，可知棒開始運動后棒上電流與棒的位移成正比，即
I=BlLx。
棒的運動方程為
mgsinα-BlBlLx=ma，即
ma=mgsinα-B2l2Lx。
當加速度a=0時，
x0=mgLsinαB2l2，令x′=x-x0則
ma=mgsinα-B2l2L(x′-x0)
=mgsinα-B2l2L(x′-mgLsinαB2l2)
=-B2l2Lx′。
這說明棒所受的合力為與棒對平衡位置的位移x′成正比而方向相反的線性力，棒做簡諧運動，運動周期
T=2πmLB2l2。
振幅A=mgLsinαB2l2即x0。
振動方程
x′=mgLsinαB2l2cos(B2l2mLt+π)。
上述問題中，題設條件中只有細微差別，但結果則完全不同．(1)中兩導軌間接電阻，棒的穩定運動狀態是勻速直線運動．從能量角度來看是重力勢能轉化為電能再轉化為內能；(2)中兩導軌間接電源，導體棒的穩定運動狀態是勻速直線運動，電源只影響收尾速度的大小；(3)中兩導軌間接電容，棒的穩定運動狀態是勻加速直線運動，重力勢能轉化為電容器的電場能和焦耳熱；(4)中兩導軌間接電感，棒的穩定運動狀態是簡諧運動，機械能磁場能相互轉化。
練習
在與勻強磁場區域垂直的水平面上有兩根足夠長的平行金屬導軌，電阻不計。在它們上面放著兩根平行導體棒，每根長度均為l，質量均為m，如圖5所示，導體棒可在導軌上無摩擦地滑動，開始時兩棒相距d，左棒靜止，右棒具有向右的初速度v0。
(1)若兩棒的電阻均為R，求兩棒的穩定運動情況及流過兩棒的電量、兩棒間距離的最大增量。
(2)若左棒中嵌有電容C，如圖6所示，求兩棒穩定運動情況(電容的體積不計且不計棒的電阻）。
答案 （1）v1=v2=v02，q=mv02Bl，
Δdm=2RqBl=Rmv0B2l2。
（2）v右=B2l2C+m2B2l2C+mv0，
v左=B2l2C2B2l2C+mv0。
分析與解 (1）題中，兩棒通過導軌構成回路，兩棒產生的動生電動勢互為反電動勢，右棒E1=Blv1，左棒E2=Blv2，電路中右棒受安培力作用而減速運動，左棒則受安培力作用從靜止開始加速，由于系統不受外力，總動量守恒，故有mv0=mv1+
mv2，當v1=v2=v02時，兩棒均做勻速直線運動。
兩棒電阻串聯，通過每棒的感應電流電量相等，任取其中一棒例如左棒，由動量定理：
Blqtt=mv02，
得q=mv02Bl。
若設兩棒間距離的最大增量Δdm，則由q=t=BlΔdm2Rt#8226;t，得Δdm=2RqBl=Rmv0B2l2。
(2)兩棒組成的系統動量守恒，
mv0=mv左+mv右，
得：v左+v右=v0。①
左棒產生的電動勢為：
E左=BLv左。②
右棒產生的電動勢為：
E右=Blv右。③
對左棒應用動量定理有：
BlΔt=mv左，
流過兩棒的電量，
q=Δt=mv左Bl。
電容器兩端電壓為：
U=qC=mv左BlC，④
達到穩定時有：
E右=E左+U。⑤
將②③④代入⑤得，
Blv右=Blv左+mv左BlC。⑥
聯立①⑥可得兩棒的穩定速度為：
v右=B2l2C+m2B2l2C+mv0，⑦
v左=B2l2C2B2l2C+mv0。⑧
(欄目編輯羅琬華)
