例談在習題教學中體現“過程與方法”的目標

習題教學是當前高中物理教學中出現頻率很高的教學過程。在習題教學中怎樣體現“過程與方法”目標，值得探討。本文以新教材中的一道習題為基礎，通過改編與拓展，突出學生的體驗和感悟，逐步培養學生良好的學習素質和科學素養。

1 原題目

物理選修3－1、P.17第7題：如圖1所示，真空中有兩個點電荷Q1=+4.0×10－8C和Q2＝－10－8C，分別固定在x坐標軸的x＝0和x＝6cm的位置上。

（1）x坐標軸上哪個位置的電場強度為零？

（2）x坐標軸上哪些地方的電場強度方向是沿x軸正方向的？

解 因Q1＞Q2，故在Q1點的左側，Q1的電場強度總大于Q2的電場強度，且方向總指向x軸負半軸，在x＝0和x＝6cm之間，電場強度總沿x軸正方向。故只有在Q2右側電場強度才有可能為零。

（1）設該位置距0點的距離為x，則

kQ1x2-kQ2(x-6)2=0，①

即4(x-6)2-x2=0。

解得x1＝4cm（不合題意，舍去），x2＝12cm。

（2）在x軸上（0，6）之間和x＞12cm的地方電場強度的方向是沿x軸正方向的。

2 改編與拓展：

（3）*今有一正試探電荷q放在x軸上，且當q的位置限制在x軸上變化時，求q受力平衡的位置，并討論平衡的穩定性。

解 由①式知，平衡位置x0＝12cm，在這一位置上，正、負電荷各自產生的場強大小相等。

平衡穩定性的討論：可令q從x0處發生一微小位移Δx。當Δx＞0時，正電荷Q1產生的場強占主導，F＞0，即當q離開平衡位置向右偏離時，將受到斥力，方向向右；當Δx＜0時，負電荷Q2產生的場強占主導，F＜0，即當q離開平衡位置向左偏離時，將受到引力，方向向左。由此可見平衡是不穩定的。數學解析討論：

F=kQ2q〔4(x0+Δx)2-1(x0-6+Δx)2］

=kQ2q3Δx(8+Δx)(12+Δx)2(6+Δx)2。②

由于②式中的分母恒為正值，可見q受到的合力F的正負只決定于分子。這樣容易得到與上述相同的結論。

（4）*試定性地畫出試探電荷+q所受合力F與q在x軸上位置x（x＞6）的關系曲線。

解 由（3）*解知，在x0＝12cm處，合場強E=0。在x＞12cm，總有F＞0。當x→∞，F→0。由此可知，在x0的右方，F＞0，最后變為趨于零，可見有一個正的極大值存在。在6cm＜x＜12cm的區間里，F＜0，左側單調地趨于－∞。這樣可定性地畫出F-x曲線如圖2所示。

(5)*試定性畫出兩點電荷產生的場強在x軸上的分布，即E(x)曲線。作圖時應考慮正負x值兩種情況。如果E指向右方，則E為正；如果E指向左方，則E為負。

解 對于x＜0，場強反向疊加，與電荷Q1靠得近，其方向取決于Q1，其值近處主要由Q1決定，遠處兩電荷合一，由Q1＋Q2決定，畫出E(x)曲線AB如圖3所示。

對于0＜x＜6cm，場強是同向疊加，始終為正。注意到x=0或6cm及近旁時場強E的情形，場強E必有極小值且更靠近x=6cm，這樣可畫出E(x)曲線CD如圖3所示。

對于x＞6cm，在x＝6cm近旁，場強主要由Q2決定，遠處由Q1＋Q2決定；稍遠處Q1、Q2形成的電場衰減程度不同，情況較復雜些，可根據x＝x0和x=∞場強的極限情形，畫出曲線GF如圖3所示。

(6)*對以上E(x)曲線的數學分析。

解 令Q1=4q， Q2=-q，d＝6cm，由真空中的點電荷的場強公式分段寫出函數表達式：

當x＜0，kq［-4/x2+1/(d-x)2］。

當0＜x＜d，E(x)=kq［4/x2+1/(d-x)2］。③

當x＞d，kq［4/x2-1/(x-d)2］。

顯然第一段函數（x＜0），E(x)是單調減函數，如圖3曲線AB所示。

第二段函數（0＜x＜d），E(x)是非單調函數。對E(x)求導，

E′（x)=kq［-8/x3+2/(d-x)3］，令E′(x)＝0，得

x1=34d/(1+34)=3.68cm。④

經數學考察x1為E(x)極小值點。④式表明x1＞d/2，如圖3曲線CD所示。

第三段函數（x＞d），先確定幾個特殊點：

(a)E(x)=0的點，x0=2d=12cm。⑤

(b)E(x)的極值點。

令E″(x)=6kq［4/x4-1/(x-d)4］=0，得

x′1=34d/(34-1)=16.2cm。⑥

(c)E(x)的拐點。

令E″(x)=6kq［4/x4-1/(x-d)4］=0，得

x2=44d/(44-1=20.5cm。⑦

根據⑤、⑥、⑦式，顯然x0 ＜x′1＜x2。最后分區域描出曲線GF，如圖3所示。

(7)*試在（4）*中把正的試探電荷換成負的，則試探電荷-q所受合力F與q在x軸上位置x（x＞6）的關系曲線如何？請描繪之。從受力圖的形狀上聯想到了什么力，請作出解釋。

解 負試探電荷q受到Q1、Q2的合力與q在x軸上位置x的關系曲線如圖4所示。從形狀上可聯想到它跟分子間作用力與分子距離的關系曲線相似。把Q1和Q2合并看作甲分子，負試探電荷q看作乙分子，當甲、乙分子靠近時：q在x＝6cm附近，Q2的斥力占主導；當甲、乙分子稍遠時：q在x＝12cm，Q1、Q2的引力斥力相當；當甲、乙分子遠離時：Q1的引力占主導。這樣能粗略地解釋分子間同時存在斥力和引力，而表現出的斥力和引力是合力。

3 關于本習題教學案例的幾點思考

①首先要有好的題目。原題（1）的求解沒有直接套用點電荷的場強公式和場強疊加方法，而是先進行判斷性的分析，對x軸上場強的分布情況分區域作出判斷，這就是所謂的定性分析。原題（2）正是按定性分析法設置和求解的。

②對（3）*~(7)*題目的設置和求解，圍繞場強、場強疊加、點電荷的場強等知識點，但側重點是對物理學研究中常用的思想方法的培養和訓練。當然這些題目也可由學生來編擬，如兩個同種電荷在其連線上的電場分布，等量異種（同種）電荷中垂線上電場的分布等。編出一道有價值的好題獲得的教益遠勝于解出一道難題。

③在物理學研究中，有一種特有的分析方法——元過程分析法，也叫做“微元法”。它是把物理過程分解成為無限多個無限小的部分抽取其中一部分加以研究的方法。（3）*的解法就采用了這種方法，可以是定性的，也可以是定量的。在（4）*~（5）*的定性分析中，是對把握主要因素，抓住特殊點及特殊點的極限情形，注意到物理量的漸變性等，使思考進入程序，形成思路的訓練。科學方法和正確思路的建立，要經歷一定的過程才能實現。這一點是至關重要的，它必須貫串于習題教學始終。

④(6)*對E（x）的數學分析，學生是可以接受的。問題是如何引導學生應用微積分這一數學工具。定性是定量的不足，從定性到定量，這是物理發展的必然。從歷史上看，哈雷彗星回歸、海王星的發現就是很好的例證。（7）*的價值在于它是類比思維方法的體現。

(欄目編輯黃懋恩)