“金屬棒切割”題型歸類及求解思路
2008-12-31 00:00:00金鳳官
物理教學探討 2008年8期
電磁感應現象中，“金屬棒切割”問題是一類重要題型， 試題可綜合法拉第電磁感應定律、楞次定律、牛頓運動定律、力的平衡、動量、沖量和功能關系等主干知識，將電磁學和力學知識有機綜合， 對學生的建模能力及科學素養提出了較高的要求，一直是高考命題的熱點題型。 本文對近年高考卷中“金屬棒切割”題目進行歸類分析，尋找命題規律，探究求解思路. 這類試題的綜合方式主要有如下幾類。
1 與動力學、運動學知識相綜合
金屬棒在磁場中作切割磁感線運動， 涉及受力分析和速度、加速度分析， 與動力學、運動學知識緊密相關， 分析時應注意如下思路：閉合回路中的磁通量發生變化 → 金屬棒產生感應電動勢 → 感應電流 → 金屬棒受安培力作用 → 合外力變化 → 加速度變化 → 速度變化 → 感應電動勢變化 → ……， 循環結束時， 加速度往往等于零，金屬棒達到穩定運動狀態。
例1 （2007年上海卷， 第23題）如圖（a）所示，光滑的平行長直金屬導軌置于水平面內，間距為L、導軌左端接有阻值為R的電阻，質量為m的金屬棒垂直跨接在導軌上。導軌和金屬棒的電阻均不計，且接觸良好。在導軌平面上有一矩形區域內， 存在著豎直紙面的勻強磁場，磁感應強度大小為B。開始時，金屬棒靜止于磁場區域的右端，當磁場以速度v1勻速向右移動時，金屬棒隨之開始運動，同時受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度，此時金屬棒一直處于磁場區域內。
（1）求金屬棒所達到的恒定速度v2 ；
（2）為使金屬棒能隨磁場運動，阻力最大不能超過多少？
（3）金屬棒以恒定速度運動時，單位時間內克服阻力所做功和電路中消耗的電功率各為多大？
（4）若t＝0時， 磁場由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，經過較短時間后，金屬棒也做勻加速直線運動，其v-t關系如圖（b）所示，已知在時刻t金屬棒的瞬時速度大小為vt ，求金屬棒做勻加速直線運動時的加速度大小。
解析 （1）金屬棒產生感應電動勢
點撥：本題涉及電磁感應、安培力、運動學、牛頓運動定律等知識，金屬棒切割磁感線， 在回路中產生感應電流，與感應電流相關的是安培力， 安培力聯系著導體棒的速度、加速度， 本題要求考生細心分析導軌的運動情況，找出物理量之間的關系，考查了考生的綜合分析能力。
例2(2007四川理綜卷第23題)如圖所示，P、Q為水平面內平行放置的光滑金屬長直導軌，間距為L1，處在豎直向下、磁感應強度大小為B1的勻強磁場中．一導體桿e f垂直于P、Q放在水平導軌上，在外力作用下向左做勻速直線運動．質量為m、每邊電阻均為r、邊長為L2的正方形金屬框a b c d置于豎直平面內，兩頂點a、b通過細導線與導軌相連，磁感應強度大小為B2的勻強磁場垂直金屬框向里，金屬框a b c d恰好處于靜止狀態， 不計其余電阻和細導線對a、b點的作用力。
(1)通過ab邊的電流Iab 是多大?
(2)導體桿ef 的運動速度v是多大?
解析 (1)設通過正方形金屬框的總電流為I， ab、dc邊的電流分別為Iab、Idc ，有Iab=3 4I，Idc=14I，金屬框受重力和兩個安培力作用處于靜止狀態，有mg=B2IabL2+B2IdcL2，由以上三式解得ab邊的電流Iab=3mg4B2L2。
(2) 由Iab=34I，可得I=mgB2L2， ad、dc、cb三邊串聯后與ab邊并聯的總電阻 R=34r，根據閉合電路歐姆定律E=IR，即B1L1v=IR，由以上各式解得導體桿e f 的速度v=3mgr4B1B2L1L2。
命題熱點：近年高考中， 利用“金屬棒切割”進行考查時，“切割”以多種形式出現， 有“水平切割”、“豎直切割”、“斜面切割”，考查受力分析、運動過程、極值問題(如加速度極值、速度極值、功率極值，能量轉換)等問題， 同時還加入了圖像描述，比如F- t 圖像、U - t 圖像等，對運動過程的考查更為全面綜合。
求解思路：在勻強磁場中勻速運動的“金屬棒”受到的安培力恒定，用平衡條件進行處理；在勻強磁場中變速運動的導體棒受的安培力也隨速度(電流)變化，變速運動的瞬時速度可用牛頓第一定律和運動學公式求解，要畫好受力圖， 抓住加速度a ＝0時，速度v達最大值的特點。
2 與動量、沖量知識相綜合
在電磁感應現象中，金屬棒受安培力作用，動量將發生變化， 由于安培力往往是變力， 無法用運動學公式和牛頓運動定律等知識求解， 這時運用動量定理求解顯得十分方便；另外， 在雙金屬棒切割的系統中， 雙金屬棒構成閉合回路，安培力充當系統內力，實現動量的傳遞，用動量守恒定律進行求解更顯方便快捷。
例3(2007江蘇物理卷第18題) 如圖所示， 空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感應強度B =1T，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為d =0.5m，現有一個邊長l = 0.2m、質量m =0.1kg、電阻R =0.1Ω 的正方形金屬線框M N O P以v0 =7m/s的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場。求：
(1)線框MN邊剛進入磁場時受到安培力的大小F。
(2)線框從開始進入磁場到豎直下落的過程中產生的焦耳熱Q。
(3)線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n。
解析 (1) 線框MN邊剛開始進入磁場區域時， 感應電動勢E=Blv0，感應電流I=ER，安培力F =BlI ，由以上三式解得安培力
F =2.8N。
(2)設線框豎直下落時，線框下落了H ，速度為vH，據能量守恒定律
mgH+12mv02=Q+12mv2H，
據自由落體規律vH2=2gH，
解得焦耳熱Q=12mv02=2.45J。
(3)只有在線框進入和穿出條形磁場區域時，才產生感應電動勢， 線框部分進入磁場區，感應電動勢E=Blv，感應電流I=ER， 安培力F =BlI =B2l2Rv。
在t →t +Δ t 時間內，由動量定理
-FΔ t=mΔ v，
求和-B2l2RvΔ t=mΔ v，
-B2l2Rx=0-mv0，得x=mv0RB2l2。
線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n=x2l=4.4， 即可穿過4個完整條形磁場區域。
點撥 本題將“金屬棒切割”與動量定理、能量守恒定律、自由落體規律等物理主干知識有機綜合，設置了新穎的物理情景， 注重基本概念和規律的理解， 同時考查運用數學工具解決物理問題的能力。
例4 如圖所示，兩根間距為l的光滑金屬導軌(不計電阻)．由一段圓弧部分與一段無限長的水平段部分組成， 其水平段加有豎直向下的勻強磁場，其磁感應強度為B，導軌水平段上靜止放置一金屬棒cd，質量為2m，電阻為2r. 另一質量為m，電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入水平段，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°，求：
(1) 金屬棒ab在N處進入磁場區速度是多少? 此時棒中電流是多少?
(2) 金屬棒ab能達到的最大速度是多大？
(3) 金屬棒ab由靜止到達最大速度的過程中， 系統所能釋放的熱量是多少?
解析 (1) 金屬棒ab由M下滑到N的過程中，只有重力做功，機械能守恒，mgR（1-cos60°）=12mv2，解得v=gR，進入磁場區瞬間，回路中電流強度為I=E2r+r=BlgR3r。
(2)設金屬棒ab與cd所受安培力的大小為F，安培力作用時間為t．ab棒在安培力作用下做減速運動，cd棒在安培力作用下做加速運動，當兩棒速度達到相同速度v' 時，電路中電流為0，安培力為0，cd達到最大速度．運用動量守恒定律得m v＝(2m+m)v'，解得v′=13gR。
(3)系統釋放熱量應等于系統機械能減少量，故有：Q=12mv2-12（3m）v′2 ， 解得
Q=13mgR。
命題熱點 電磁感應現象中，\"金屬棒切割\"與動量和沖量等知識相聯系， 近年高考命題中， 以\"金屬棒切割\"為背景的試題， 要求考生靈活運用動量定理、動量守恒定律分析及推理，對考生具有一定的區分度. 這類試題涉及知識點多、綜合性強，用動量轉移和守恒觀點分析電磁感應問題是高考的又一個重點。
求解思路 在電磁感應現象中，當金屬棒只受安培力作用時，安培力對棒的沖量為 I ＝FΔ t = BLIΔ t＝BLq．在解題時涉及始，末狀態，還有力和作用時間的，用動量定理；在等長度的雙金屬棒切割的系統中， 雙金屬棒構成閉合回路，安培力充當系統內力，使不同金屬棒之間的相對運動產生制約，實現運動狀態動量的改變，即實現動量的傳遞，可用動量守恒定律進行求解. 解決此類問題的關鍵：判斷動量守恒定律成立的條件，即系統受到的合外力為零，且系統內作用于不同對象上的安培力等值反向。
3 與電流、電容知識相綜合
金屬棒切割磁感應線產生感應電動勢， 金屬棒在電路中相當于電源，可以與電阻、電容等元件構成較復雜的電路， 涉及電流分配、電壓分配、電勢高低、電容器帶電量計算等， 與電學知識組成物理學科內綜合題。
例5(2007天津理綜卷第24題)兩根光滑的長直金屬導軌MN、M ′N′ 平行置于同一水平面內，導軌間距為L，電阻不計，M、M′ 處接有如圖所示的電路，電路中各電阻的阻值均為R，電容器的電容為C. 長度為L、阻值為R的金屬棒 ab垂直于導軌放置，導軌處于磁感應強度為B、方向豎直向下的勻強磁場中．ab在外力作用下向右勻速運動且與導軌保持良好接觸， 在ab運動距離為s的過程中，整個回路中產生的焦耳熱為Q。求：(1)a b運動速度v的大小； (2)電容器所帶的電荷量q。
解析 (1)設ab上產生的感應電動勢為E，回路中的電流為I， 三個電阻R與電源串聯，總電阻為4R，由閉合電路歐姆定律有 I=E4R=BLv4R，a b運動距離s所用時間t=sv，由焦耳定律有Q=I2（4R）t， 由以上三式解得v=4QRB2L2s。
(2)設電容器兩極板間的電勢差為U，則有U=IR=BLv4R×R=BLv4， 又v=4QRB2L2s，電容器所帶電荷量q =CU，由以上三式解得
q=CQRBLs。
例6(2007廣東卷第15題)如圖甲所示，一端封閉的兩條平行光滑導軌相距L，距左端L處的中間一段被彎成半徑為H的1/4圓弧，導軌左右兩段處于高度相差H的水平面上，圓弧導軌所在區域無磁場，圓弧右段區域存在勻強磁場B0，左段區域在均勻分布但隨時間作線性變化的磁場B ( t )，如圖乙所示，兩磁場方向均豎直向上．在圓弧頂端放置一質量為m的金屬棒ab，與左段的導軌形成閉合回路，從金屬棒下滑開始計時，經過時間t0 滑到圓弧底端．設金屬棒在回路中的電阻為R．導軌電阻不計，重力加速度為g。
(1)問金屬棒在圓弧內滑動時，回路中感應電流的大小和方向是否發生改變? 為什么?
(2)求0到t0 時間內，回路中感應電流產生的焦耳熱量。
(3)探討在金屬棒滑到圓弧底端進入勻強磁場B0的一瞬間，回路中感應電場的大小和方向。
解析 (1) 如圖乙所示，金屬棒滑到圓弧任意位置時，回路中磁通量的變化率相同，回路中感應電動勢E1=ΔΔ t=Δ B×L2Δ t=B0L2t0， ∵感應電動勢的大小和方向均不發生改變， ∴ 感應電流的大小和方向均不發生改變。
(2) 在時間0 ～ t0內，E1=B0L2t0，I=E1R，由焦耳定律， 回路中產生的熱量
Q=I2Rt0=B02L4Rt0。
(3)設金屬棒進入磁場B0一瞬間的速度為v， 金屬棒在圓弧區域下滑的過程中機械能守恒：mgH=12mv2，v=2gH。
金屬棒進入右段區域磁場B0，切割磁感線產生的感應電動勢E2=B0Lv=B0L2gH，據右手定則，感應電動勢方向b→a，根據法拉第電磁感應定律，左段區域隨時間變化的磁場B ( t )產生的感應電動勢E0=B0L2t0， 據楞次定律，感應電動勢方向a→b。
設金屬棒進入磁場B0瞬間的感應電動勢E， 以方向b→a為感應電動勢的正方向，則
E = E2 -E1=B0L（2gH-Lt0） ，
由閉合電路歐姆定律得感應電流：
I=B0LR（2gH-Lt0），
根據上式討論：①當2gH=Lt0時，I =0；
②當2gH＞Lt0時I=B0LR（2gH-Lt0），方向b→a；
③當2gH＜Lt0時，I=B0LR（Lt0-2gH），方向a→b。
命題熱點 本題將電磁感應和電動勢、電流、電路有機綜合， 考查考生的推理能力、獲取信息能力及綜合分析能力，同時本題具有開放性， 要求考生自主探究， 在能力方面要求較高. 近年高考命題中， 有兩類題型要引起關注：①利用改變金屬棒有效長度考查對電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律的理解；②利用金屬棒在磁場中轉動， 考查對電磁感應定律、楞次定律的理解，該類命題主要特點是聯系圖像、實際等問題考查學生的綜合分析能力。
求解思路 判斷產生電磁感應現象的那一部分導體(電源) → 利用E=BLv（或E=NΔΔt）求感應電動勢的大小 → 利用右手定則或楞次定律判斷電流方向 → 分析電路結構 → 畫等效電路圖， 利用閉合電路的歐姆定律、串并聯電路的特點解決。
在應用公式E =B L v時，應注意：(1) 如果v為某一時間內的平均速度，則電動勢為這一時間內的平均電動勢；(2) 如果v為某一時刻的瞬時速度，則E為這一時刻的瞬時電動勢；(3) 導線在磁場中， 以一端為圓心做圓周運動時， 導線的切割速度應取導線平均線速度
v=ωL2，E=12BωL2。
4 與功能關系相綜合
電磁感應現象中，導體切割磁感線或磁通量發生變化在回路中產生感應電流，機械能或其他形式能量轉化為電能，具有感應電流的導體在磁場中受安培力作用或通過電阻發熱，使電能轉化為機械能或電阻的內能，電磁感應過程總是伴隨著能量的轉化. 當外力克服安培力做功時，就有其他形式的能轉化為電能；當安培力做正功時，就有電能轉化為其他形式的能. 具有感應電流的導體在磁場中受安培力作用或通過電阻發熱，使電能轉化為機械能或內能，電磁感應過程總是伴隨著能量的轉化。
例7(2007北京理綜卷第24題)用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長為L的閉合正方形框abb'a' ，如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場方向平行。
設勻強磁場僅存在于相對磁極之間，其他地方的磁場忽略不計可認為方框的aa' 邊和bb' 邊都處在磁極間，極間磁感應強度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平(不計空氣阻力)．
(1)求方框下落的最大速度vm (設磁場區域在豎直方向足夠長)；
(2)當方框下落的加速度為g /2時，求方框的發熱功率P；
(3)已知方框下落時間為t時，下落高度為h，其速度為 vt( vt < vm)．若在同一時間t內，方框內產生的熱與一恒定電流I0在該框內產生的熱相同，求恒定電流I0的表達式。
解析 (1)方框質量m = 4LAd ， 方框電阻R=ρ4LA， 方框下落速度為v時，產生的感應電動勢E = B(2L)v ， 感應電流I=ER=BAv2ρ，方框下落過程，受到重力G及安培力F，G = mg =4LAdg，方向豎直向下，F=BI（2L）=B2ALvρ，方向豎直向上。
當F= G時，方框達到最大速度，即v= vm，則B2ALvmρ=4LAdg，方框下落的最大速度vm=4ρdgB2。
(2)方框下落加速度為g/2時，有mg-BI（2L）=mg/2，則I=mg4BL=AdgB，方框的發熱功率P=I2R=4ρALd2g2B2。
(3)根據能量守恒定律，有
mgh=12mvt2+I02Rt，
解得恒定電流I0的表達式：
I0=mRt（gh-12vt2）=Adρt（gh-12vt2）。
點評本題考查了電磁感應現象中等效電路的分析，功率計算及能量守恒定律的應用，把交流電中有效值的概念引入電磁感應電路，考查了學生的知識遷移能力。
例8(2005江蘇卷第16題) 如圖所示，固定的水平光滑金屬導軌， 間距為L，左端接有阻值為R的電阻，處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中，質量為m的金屬棒與固定彈簧相連，放在導軌上，導軌與金屬棒的電阻均可忽略．初始時刻，彈簧恰處于自然長度，金屬棒具有水平向右的初速度v0．在沿導軌柱復運動的過程中，金屬棒始終與導軌垂直并保持良好接觸。
(1)求初始時刻金屬棒受到的安培力。
(2)若金屬棒從初始時刻到速度第一次為零時， 彈簧的彈性勢能為EP ，則這一過程中安培力所做的功Wl 和電阻R上產生的焦耳熱Q1 分別為多少？
(3)金屬棒往復運動，最終將靜止于何處？從金屬棒開始運動直到最終靜止的過程中，電阻R上產生的焦耳熱Q為多少?
解析 （1）初始時刻金屬棒中感應電動勢E=BLv0，I=ER，作用于棒上的安培力F=BLI=B2L2v0R，安培力方向水平向左。
(2)由功能關系，安培力做功
W1=EP-12mv02 ， (負功)。
電阻R上產生的焦耳熱Q=12mv02-EP。
(3)由能量轉化及平衡條件等，可判斷金屬棒最終靜止于初始位置。
電阻R上產生的焦耳熱Q=12mv02。
命題熱點 近年高考命題中， 對于金屬棒以能量形式命題有：棒與電源、棒與電阻、棒與電容、棒與彈簧等組合系統， 在金屬棒運動中，以上組合都涉及多種能量形式的轉化，要求考生從功和能的觀點入手，分析清楚電磁感應過程中能量轉化的關系， 考查考生應用能量守恒定律分析問題的能力。
求解思路 電磁感應現象中綜合著機械能和電能之間的相互轉化，內能和電能之間的相互轉化，為此就必須弄清楚轉化中各力做功的情況， 像有摩擦力做功必定有內能產生，安培力做負功實現其他形式的能向電能轉化，做正功將電能轉化為具他形式的能，要善于分析導軌的運動情況，涉及始、末狀態，還有力和位移的， 以及熱量問題應盡量應用動能定律與能的轉化和守恒定律解決．對于感應電流的焦耳熱問題：如果感應電動勢為恒量，可以運用焦耳定律直接求得; 如感應電動勢為變量，若是正弦交流電，可運用有效值求之，若不是， 可應用能的轉化和守恒定律求解。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
