數理結合，突破“三點”
2008-12-31 00:00:00姜玉斌
物理教學探討 2008年8期
由于數學知識的限制，高考題中電動勢的求解給學生的理解留下了難點、疑點和盲點?，F行數學教材中微積分知識，為學生更好地進行電動勢的求解提供了數學基礎。下面就用學生具備的數學知識再解高考題中的感應電動勢。
1 突破難點
考題1 （2000年夏季高考物理廣東卷）一小型發電機的矩形線圈在勻強磁場中以恒定的角速度ω繞垂直于磁場方向的固定軸轉動。線圈匝數n＝100，穿過每匝線圈的磁通量φ隨時間按正弦規律變化，如圖1所示，發電機內阻r＝5．0Ω，外電路電阻R＝95Ω。已知感應電動勢的最大值Em＝nωφm，其中φm為穿過每匝線圈磁通量的最大值。求串聯在外電路中的交流電流表（內阻不計）的讀數。
原解 設線圈在磁場中轉動的周期為T，則ω=2πT ①
根據歐姆定律，電路中電流的最大值為
Im=EmR+r②
設交流電流表的讀數為I，則I=12Im ③
將Em=nωm，m=1.0×10-2Wb，T=3.14×10-2s， 代入①②③式，解出I=1.4A。
這樣求解，學生理解存在以下難點：（１）磁通量隨時間按正弦規律變化，電路中的電動勢隨時間如何變化；（２）為什么電路中電流的有效值與最大值之間滿足2的關系。
再解由圖寫出磁通量φ隨時間變化關系
φ=φmsinωt④
根據電動勢的導數形式
E=nddt=nmdsinωtdt=nωmcosωt⑤
由⑤式可知電路中的電動勢隨時間按余弦規律變化，所以電路中電流的有效值與最大值之間滿足2的關系，這樣再解下去，突破了難點。
2 突破疑點
考題2 （2003年高考物理江蘇卷）如圖2所示，兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為r0＝0.10Ω/m，導軌的端點P、Q用電阻可忽略的導線相連，兩導軌間的距離l＝0.20m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感強度B與時間t的關系為B＝kt，比例系數k＝0.020T/s，一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直，在t＝0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向導軌的另一端滑動，求在t＝6.0s時金屬桿所受的安培力。
原解 此題的關鍵是解出t時刻的電動勢的表達式。以a表示金屬桿運動的加速度，在t時刻，金屬桿與初始位置的距離L=12at2 ①，此時桿的速度v=at②，這時，桿與導軌構成的回路的面積S=Ll③，回路中的感應電動勢為E=SΔBΔt+Blv④，其中ΔBΔt=k(t+Δt)-ktΔt=k ⑤，將①②③⑤式代入④式得E=32klat2。
這樣求解，存在以下疑點：（1）為什么電動勢可以寫成E=SΔBΔt+Blv；（2）SΔBΔt 解出的應該是電動勢的平均值，而題目要求的是t時刻的瞬時值。
再解 由電動勢的導數形式可知E=ddt=d(BS)dt=SdBdt+BDSdt=SdBdt+Blv。當磁感強度B隨時間均勻變化時，dBdt是定值，SΔBΔt解出的電動勢的平均值與瞬時值相等，原解利用了這一特殊性。
3 突破盲點
考題3 （2000年高考物理上海卷）如圖3所示，固定水平桌面上的金屬框架edcf，處在豎直向下的勻強磁場中，金屬棒ab擱在框架上，可無摩擦滑動，此時adcb構成一個邊長為l的正方形，棒的電阻為r，其余部分電阻不計，開始時磁感強度為B0。
（1）若從t=0時刻起，磁感強度均勻增加，每秒增量為k，同時保持棒靜止，求棒中的感應電流，在圖上標出感應電流的方向。
（2）在上述（1）情況中，始終保持棒靜止，當t=t1秒末時需加的垂直于棒的水平拉力為多大？
（3）若從t=0時刻起，磁感強度逐漸減小，當棒以恒定速度v向右作勻速運動時，可使棒中不產生感應電流，則磁感強度應怎樣隨時間變化（寫出B與t的關系式）？
這道題目的難點在問題（3），下面就問題（3）來說明電動勢的求解。
原解 不產生感應電流就是要回路中總磁通量不變，即Bl(l+vt)=B0l2
解之得B=B0ll+vt。
錯解 不產生感應電流就是要電路中的電動勢時刻為零，即E=SΔBΔt+Blv=0①
設經過時間t回路的面積為S=l(l+vt) ②，ΔBΔt=B-B0t-0③，將②③式代入①式得B-B0t-0l(l+vt)+Blv=0 ④，解④式得B=B0(l+vt)l+2vt。
由原解可知磁感強度B隨時間變化是不均勻的，①式中SΔBΔt解出的電動勢的平均值與瞬時值不相等，用平均值替代瞬時值是錯誤的。
原解簡單易懂，但給學生理解電動勢求解留下了盲點：E=SΔBΔt+Blv 在考題2中可以求解電動勢，在考題3中卻不行。
再解 由電動勢的導數形式可知
E=ddt=d(BS)dt=SdBdt+BdSdt=SdBdt+Blv ①
設經過時間t，寫出電動勢的表達式并令它為零。
E=dBdtl(l+vt)+Blv=0 ②
對②式變形dBB=-vdtl+vt=-d(vt+l)(vt+l) ③
對③式兩邊積分∫BB0dBB=-∫t0d(vt+l)vt+l ④；lnBB0=-lnvt+ll=lnlvt+l ⑤
解⑤式得B=B0lvt+l。
再解過程較繁，但更利于學生對電動勢求解的深刻理解，在學生數學知識允許的情況下，應該推薦給學生。
新課程對數學教材的內容進行調整，添加了許多知識，物理教學應積極關注，加強研究，及時將新的數學知識運用到物理教學中來。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
