電荷在有界磁場中磁偏轉最值問題探析
2008-12-31 00:00:00高翔楊遠萍
物理教學探討 2008年8期
電荷在有界磁場中發生磁偏轉，受到外界條件的限制和自身運動初始條件的制約，包括磁場區域的有界性、磁場強度的大小和初速度大小以及方向的相關要求，使粒子在規定的空間內發生磁偏轉。依據實際發生的物理場景，主要分為：有界磁場分布區域面積的最值問題和粒子的初始運動狀態的邊界極值問題兩大類。
1 有界磁場分布區域的最值問題
該類問題主要解決外界提供什么樣以及多大的磁場，使運動電荷在有限的空間完成規定偏轉程度的要求，一般求解磁場分布區域的最小面積，它在實際中的應用就是磁約束。
容易混淆點是：有界磁場的圓形區域與粒子運動徑跡的圓弧。解決的方式就是加強有界磁場圓形區域與粒子運動徑跡所在圓的圓心以及半徑的對比。
原型啟發 如圖1所示是某一粒子速度選擇器原理示意圖，在一半徑為R=10cm的圓柱形筒內，有一磁感應強度為B=10-4T 的勻強磁場，方向平行與軸線，在圓柱筒某一直徑兩端開有小孔，作為入射孔和出射孔，粒子束以不同的角度入射，最后有不同速度的粒子束射出，現有一粒子源發射荷質比為2×1011C/Kg的陽離子，且離子中速度分布連續，當角度θ=45°時，出射速度v的大小是多少？
解析：已知帶電粒子進入磁場時的速度和出磁場時經過的點，過入射點做速度的垂線，和入與出兩點連線的中垂線相交于O1點則為粒子運動軌跡的圓心。
r=mvqB ，所以運動軌跡如圖AMD所示（區別于有界磁場的圓?。?，在qm一定的前提下，r∝v ，故不同的速度對應不同的半徑，將從不同位置射出，故成為速度選擇器的一種（異于平衡態下直線運動狀態下qE=Bqv的速度選擇器）。
由幾何關系可知，粒子運動軌跡所對應的圓心角為α=π2，r=2R=mvqB
解得：v=2RqBm=22×106m/s 。
小結1 磁約束問題主要是指粒子在有限空間內發生磁偏轉，通過運動徑跡確定軌跡所在圓的圓心角和對應的半徑，進而通過半徑公式確定相關物理量，這應當是解決此類問題的關鍵。
在涉及到多方物理過程問題中，依據發生的實際物理場景，尋求不同過程中相銜接和聯系的物理量，采用遞推分析或者依據發生的階段，采用順承的方式針對不同階段進行分析，依據不同的運動規律進行解決，這應當是解決此類問題的根本。
例1 如圖2所示，紙平面內有一帶電粒子以某一速度做直線運動，一段時間后進入一垂直于紙面向里的圓形勻強磁場中（圖中未畫出磁場的區域），粒子飛出磁場后從上板邊沿平行于板面進入兩面平行的金屬板間，兩金屬板帶等量的異種電荷，粒子在兩板之間經偏轉后恰從下板右邊緣飛出。已知帶電粒子的質量為m，電荷量為q，其重力忽略不計。粒子進入磁場前的速度方向與帶電極板成θ=π3，勻強磁場的磁感應強度為B，帶電極板長為 ，板間距為d，板間電壓為U，試解答：
⑴上金屬板帶什么電？
⑵粒子剛進入金屬板時速度為多大？
⑶圓形磁場區域的最小面積為多大？
分析 帶電粒子先后做勻速直線運動、有界磁場中的磁偏轉（勻速圓周運動）和平行板間的電偏轉（類平拋運動）三種運動形式。已知磁偏轉中射入與射出速度的方向，但有界磁場分布空間在哪？區域面積有多大？即運動電荷從何處進入與從何處射出均不知。雖然磁偏轉中的末態速度方向平行于極板沿上沿進入，但在何處變為水平仍然是未知的問題，因此本題求解需要先從已知量較多類平拋運動，即電偏轉甲圖開始入手，以此為乙圖和丙圖。整個發生的物理過程順次為丁圖。
解析 運動電荷先后做勻速直線運動、有界磁場中做勻速圓周運動的磁偏轉和平行板之間類平拋運動的電偏轉，由題意分析可知，帶電粒子呈負電性。
在平行板之間做類平拋運動時設飛行時間為 ，由其運動規律可知：x=l=v0t
y=d=qUt22md，聯立以上兩式解得：
v0=ldqU2m。
粒子在有界磁場中發生磁偏轉，延長入射與射出速度的飛行線相交于P點，做該夾角的角平分線，設粒子的偏轉軌跡半徑為r，則：
Fn=f洛，Bqv=mv2r，r=mvqB=lBdmU2q。
在該校平分線上求作定點，使該點到兩速度作用線的距離為半徑R=lBdmU2q，設切點分別為M，N，則圓弧⌒MN為粒子在有界磁場中發生磁偏轉的運動軌跡。
連接M，N ，以之為半徑做圓，由數學知識可知，該圓為所求的圓形磁場的最小面積。設有界磁場的半徑為R，粒子在有界磁場中發生磁偏轉的運動軌跡所對應的圓心角為π3，則在等邊三角形MNO1中，2R=r=lBdmU2q ，即：R=l2BdmU2q ，S=πR2=πmUl28qd2B2。
小結2 本題涉及運動電荷先后經歷磁偏轉和電偏轉多方物理過程，而且多過程之間彼此獨立，但相關物理量卻彼此關聯，互為依存，這就為我們轉化成運動電荷在單一場中的運動做好了積極的鋪墊，因此，能否凸現各物理過程的運動特點，揭示其運動規律成為解決本問題的關鍵。至于先從哪個物理過程入手，基于題干提供物理量多少而靈活確定。
對應練習
1.不計重力的帶正電離子，質量為m，電量為q，以與y軸成30°角的初速度v0從a點射入第一象限，如圖1-3所示，為使該帶電粒子能從x 軸上的b點以與x軸成60°方向射出，可在適當的地方加一個垂直于xoy平面磁感應強度為B的勻強磁場，若此磁場分布在一個圓形區域內，試求這個圓形區域的最小半徑？
2.如圖1-4直角坐標系的第一象限中存在著沿y軸負方向的勻強電場，在第二象限內存在著垂直于紙面向紙內的勻強磁場，一電量為q，質量為m的帶正電離子，在-x軸方向成60°方向射入勻強磁場，然后經過y軸上y=L處的b點垂直于y軸方向射入電場，并經過x軸上的x=2L處的c點，求：
⑴磁感應強度B的大?。开?/p>
⑵電場強度E的大小？
⑶粒子在磁場和電場中的運動時間之比？
2 求解運動電荷初始運動條件的邊界極值問題
該類問題多指運動電荷以不同的運動條件進入限定的有界磁場區域，在有限的空間發生磁偏轉，有可能是一個相對完整的勻速圓運動，也有可能是圓周的一部分，對于后者往往要求在指定的區域射出，但由于初速度大小以及方向的差別，致死離子在不同的位置射出，因此也就存在著不同情況的邊界極值問題。缺失多種情況的分類探討，成為解決本類問題的主要癥結。
2.1 具有確定的入射速度方向，求解速度大小的邊界極值問題
例2 如圖所示，截面為直角三角形的區域內，有一個理想邊界的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度為B，三角形區域的ab邊成30°角垂直于磁場方向射入場內，已知電子的電量為e，質量為m，為使電子能從ac射出，電子入射速率v0應滿足什么條件？
問題探究性分析 電子在有界磁場中發生磁偏轉，已知進入磁場的速度方向，出磁場的條件限制是從ac邊上的任意位置射出，∵r=mvqB，即r∝v，因此能讓離子發生磁回旋到達ac上的邊界條件就是運動軌跡與bc相切，設對應此條件的臨界速度為v1，切點為P，軌跡圓心為O1，半徑為r1。做入射速度作用線交bc于N點，構建四邊形，由幾何關系可證明四邊形NPO1M為正方形，則MN=r1=Mvcos30°=34L=mv1qB，解得：v1=3qBL4m；
第二種情況是帶電粒子發生磁回旋，r∝v，故v越小帶電粒子出磁場時的點越靠近a點，當運動電荷發生磁回旋的圓弧恰好與ac相切的時，對應的邊界極值臨界速度為v2，切點設為Q，對應的軌跡半徑為r2，圓心為O2。由圓心O2向ab做垂線，垂足為D，在RtΔMDO2 中：
MD=L2-r2=r2cos30°，
解得：r2=L3=mv2qB，所以v2=qBL3m
綜上述可知，粒子從邊界ac射出的臨界條件為：qBL3m＜v≤3qBL4m
2.2 已知入射速度的大小但方向可變問題的求解
例3 在真空中有一半徑r=3×10-2m的圓形區域，內有勻強磁場，方向如圖所示，磁感應強度B=0.27T，一個帶正電的粒子以v0=106m/s的初速度從磁場邊界上直徑ab的一端a點射入磁場，已知該粒子的荷質比qm=108C/kg，不計粒子的重力，求：
(1)粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑是多少？
(2)若要使粒子飛離磁場時具有最大的磁偏角，求入射時v0方向與ab的夾角θ以及粒子的最大磁偏角β=?
解析 粒子在勻強磁場中發生磁偏轉，是勻速圓周運動的一部分，設軌跡半徑為R
Bqv=mv2R ，∴R=mvqB=5×10-2m
粒子在圓形有界磁場中發生磁偏轉，軌跡為圓弧，對應的軌跡半徑R=5cm，延長射入與飛出磁場時速度的作用線，兩者之間的夾角為磁偏角β，由圓的幾何知識可知，磁偏角β等于對應軌跡的圓心角。要使磁偏角最大，則軌跡所對應的圓心角最大，即所包圍的圓弧最長，所夾的弦應當最長，由題意分析可知，最長的弦則為ab，由幾何知識可知
sin θ2=rR=0.6，解得：θ=74°。
因此，粒子在有界磁場中發生磁偏轉，因外界磁場空間范圍大小的限定，使之運動的初始條件就有了相應的限制，表現為在指定的范圍內運動。確定運動軌跡的圓心，求解對應軌跡圓的幾何半徑，通過圓心角進而表述臨界極值，這應當是解決該類問題的關鍵。
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
