基于分段函數微積分的教學探討

摘要：微積分中的難點內容之一就是分段函數的微積分。對于初學者來說，理解這一內容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質和關鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數的微積分為例，給出了教學方面的相關探討。

關鍵詞：微積分；分段函數；極限；連續性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數的相關問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數有別于初等函數，不能把對初等函數的研究方法直接套用到分段函數上。一般分段函數的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關分段函數相關的問題時，有必要抓住問題的本質和關鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數是由若干個解析式子組成的函數。[1，2]一般常見的分段函數在每段上的解析式都以初等函數的形式出現。若x0點位于某分區間內時，分段函數在點x0的極限問題、連續性問題和可導性問題等一般都可轉化為初等函數的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區間端點處的情形。

二、分段函數在某點x0處的極限

若點x0在分區間的端點時，則應考察分段函數在x0的左、右極限，然后由函數在一點極限存在的充要條件便可得出結論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限。■f（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區間[0，2]內的點，直接利用初等函數求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數在某點x0處的連續性

若點x0在分區間的端點時，應先判斷分段函數在分區間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數在x0的左、右連續性，然后根據函數在某點連續的充要條件給出結論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續性。

分析：x0是函數f（x）分區間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續性，然后做出結論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續，所以f（0）在x=0點連續。或者也可從連續的定義出發討論。

四、分段函數在某點x0處的可導性

對于分段函數在分區間端點x0處的可導性，應先判斷函數在該點是否連續，如連續則按導數的定義分別求出在點x0的左、右導數，然后根據函數在某點可導的充要條件給出結論。如下：例3、討論函數f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數f（x）分區間的端點。因而先考慮其在各點是否連續，若連續按導數定義分別求出各點的左、右導數，然后做出結論。

易知f（x）在由x=0是連續的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數定積分計算問題關鍵在于：如何根據被積函數的積分區間進行恰當的劃分，劃為若干個小積分區間，然后利用積分區間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數的相關問題研究也可轉化為分段函數的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數，被積函數中含有[·]，含有“max”符號的函數等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數進行了一些探討，至于多元分段函數也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數學理論與解題方法[M].北京：化學工業出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。

摘要：微積分中的難點內容之一就是分段函數的微積分。對于初學者來說，理解這一內容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質和關鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數的微積分為例，給出了教學方面的相關探討。

關鍵詞：微積分；分段函數；極限；連續性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數的相關問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數有別于初等函數，不能把對初等函數的研究方法直接套用到分段函數上。一般分段函數的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關分段函數相關的問題時，有必要抓住問題的本質和關鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數是由若干個解析式子組成的函數。[1，2]一般常見的分段函數在每段上的解析式都以初等函數的形式出現。若x0點位于某分區間內時，分段函數在點x0的極限問題、連續性問題和可導性問題等一般都可轉化為初等函數的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區間端點處的情形。

二、分段函數在某點x0處的極限

若點x0在分區間的端點時，則應考察分段函數在x0的左、右極限，然后由函數在一點極限存在的充要條件便可得出結論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限。■f（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區間[0，2]內的點，直接利用初等函數求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數在某點x0處的連續性

若點x0在分區間的端點時，應先判斷分段函數在分區間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數在x0的左、右連續性，然后根據函數在某點連續的充要條件給出結論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續性。

分析：x0是函數f（x）分區間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續性，然后做出結論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續，所以f（0）在x=0點連續。或者也可從連續的定義出發討論。

四、分段函數在某點x0處的可導性

對于分段函數在分區間端點x0處的可導性，應先判斷函數在該點是否連續，如連續則按導數的定義分別求出在點x0的左、右導數，然后根據函數在某點可導的充要條件給出結論。如下：例3、討論函數f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數f（x）分區間的端點。因而先考慮其在各點是否連續，若連續按導數定義分別求出各點的左、右導數，然后做出結論。

易知f（x）在由x=0是連續的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數定積分計算問題關鍵在于：如何根據被積函數的積分區間進行恰當的劃分，劃為若干個小積分區間，然后利用積分區間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數的相關問題研究也可轉化為分段函數的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數，被積函數中含有[·]，含有“max”符號的函數等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數進行了一些探討，至于多元分段函數也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數學理論與解題方法[M].北京：化學工業出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。

摘要：微積分中的難點內容之一就是分段函數的微積分。對于初學者來說，理解這一內容存在一定困難。因而，教師在進行教學時更應該緊扣問題的本質和關鍵，有的放矢地引導學生掌握正確的解題方法。本文以一元分段函數的微積分為例，給出了教學方面的相關探討。

關鍵詞：微積分；分段函數；極限；連續性；可導性

中圖分類號：G642.4？搖 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）02-0098-02

一、引言

在微積分的學習中，但凡涉及分段函數的相關問題時，初學者都覺得比較棘手，有時甚至無從下手。原因在于分段函數有別于初等函數，不能把對初等函數的研究方法直接套用到分段函數上。一般分段函數的研究不僅涉及面廣，方法靈活多變且綜合性較強，所以難度難免會大些，不僅要用到初等函數的研究方法，還要用到一些特殊的方法。如果學生在一些關鍵性的問題上沒有吃透，必將導致錯誤的求解。為了盡量減少出錯，教師在教授有關分段函數相關的問題時，有必要抓住問題的本質和關鍵，給學生講解正確的方法，及時糾正學生學習中的各種錯誤思維。

分段函數是由若干個解析式子組成的函數。[1，2]一般常見的分段函數在每段上的解析式都以初等函數的形式出現。若x0點位于某分區間內時，分段函數在點x0的極限問題、連續性問題和可導性問題等一般都可轉化為初等函數的相應問題來求解。本文主要探討x0在分區間端點處的情形。

二、分段函數在某點x0處的極限

若點x0在分區間的端點時，則應考察分段函數在x0的左、右極限，然后由函數在一點極限存在的充要條件便可得出結論。如下：例1、設f（x）=■，x<0x2-2x，0≤x≤23x-6，x>0 研究f（x）當x→0，x→1時的極限。

分析：x=0是分區間的一個端點，研究f（x）在x0的極限，應先研究其左、右極限。■f（x）=■■極限不存在，■f（x）=■x2-2x=0，易知■f（x）的極限不存在。而x=1是分區間[0，2]內的點，直接利用初等函數求極限的方法得■f（x）=■x2-2x=-1。

三、分段函數在某點x0處的連續性

若點x0在分區間的端點時，應先判斷分段函數在分區間端點x0處是否有定義，若有，則進一步按定義考察函數在x0的左、右連續性，然后根據函數在某點連續的充要條件給出結論。如下：

例2、討論f（x）=■，x<0■，x>0在x=0處的連續性。

分析：x0是函數f（x）分區間的端點。易知f（x）在x=0由定義，因而考慮其在x=0的左、右連續性，然后做出結論。

由■f（x）=■■=1=f（0）知左連續，

由■f（x）=■■=1=f（0）知右連續，所以f（0）在x=0點連續。或者也可從連續的定義出發討論。

四、分段函數在某點x0處的可導性

對于分段函數在分區間端點x0處的可導性，應先判斷函數在該點是否連續，如連續則按導數的定義分別求出在點x0的左、右導數，然后根據函數在某點可導的充要條件給出結論。如下：例3、討論函數f（x）=1，x≤02x+1，0

分析：x=0是函數f（x）分區間的端點。因而先考慮其在各點是否連續，若連續按導數定義分別求出各點的左、右導數，然后做出結論。

易知f（x）在由x=0是連續的，又由f'+（0）=■■=■■=2≠f'（0）=■■=0

知在x=0不可導。同理我們也可以驗證f（x）在x=1，2的可導性。

五、分段函數在某點x0處的積分

在講解這類問題時應教會學生如何把問題轉化為熟悉的一般積分問題。解決分段函數定積分計算問題關鍵在于：如何根據被積函數的積分區間進行恰當的劃分，劃為若干個小積分區間，然后利用積分區間的可加性，把原積分劃為若干個一般的定積分計算。如下：

例4、設f（x）=■，x≥0■，x<0 求■f（x-1）dx

分析：先令t=x-1進行變量代換，然后按分段函數的積分來求解。

■f（x-1）dx=■f（t）dt=■f（t）dt+■f（t）dt=■■dt+■■dt=ln（1+e）+ln■

另外某些非初等函數的相關問題研究也可轉化為分段函數的形式來處理。[1，3]如一些帶絕對值符號的函數，被積函數中含有[·]，含有“max”符號的函數等。由于篇幅所限，以上僅對一元分段函數進行了一些探討，至于多元分段函數也可采用類似的方法。

參考文獻：

[1]于龍文，等.高等數學理論與解題方法[M].北京：化學工業出版社，2010.

[2]趙樹嫄.微積分（第三版）[M].北京：中國人民大學出版社，2007.

[3]同濟大學數學系.高等數學（上、下冊）第六版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡介：劉利平（1984—），女，湖南株洲人，甘肅政法學院講師。