“橢圓第二定義”的教學(xué)方案

〔關(guān)鍵詞〕 橢圓第二定義；橢圓方程；焦點(diǎn)

〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.63〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A

〔文章編號(hào)〕 1004—0463（2008）11（B）—0063—01

在高二第一學(xué)期的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)入“圓錐曲線”問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)遇到“橢圓的第二定義”.盡管學(xué)生對(duì)第二定義的學(xué)習(xí)頗有興趣，但其在教材中的出現(xiàn)只是一個(gè)簡(jiǎn)單的例題形式，引不起學(xué)生的重視，常常在不經(jīng)意中被忽視，使學(xué)生“知其然，而不知其所以然”.因此，為了更好地揭示這一問(wèn)題的思考過(guò)程，上好這節(jié)課，我參考了一些教學(xué)資料，對(duì)比設(shè)計(jì)了兩種教學(xué)方案.

方案一：首先，向?qū)W生提出問(wèn)題：設(shè)橢圓方程為+=1，只知橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3或2，不求縱坐標(biāo)，你能求出這些點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離嗎？讓學(xué)生帶著問(wèn)題進(jìn)入課本例題的學(xué)習(xí)，并通過(guò)畫(huà)圖、識(shí)圖，求出點(diǎn)M的軌跡方程，進(jìn)而得出橢圓的第二定義.然后讓學(xué)生自己解決最初的問(wèn)題，使這節(jié)課的內(nèi)容完成，重點(diǎn)突出.在此過(guò)程中，學(xué)生由于自己解決了一個(gè)問(wèn)題，因而會(huì)對(duì)橢圓的第二定義印象深刻，同時(shí)還會(huì)學(xué)會(huì)利用橢圓的第二定義解決其他問(wèn)題.

方案二：首先，和學(xué)生一起復(fù)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并且引導(dǎo)學(xué)生回憶在橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程中，方程+=2a的化簡(jiǎn)是通過(guò)兩次兩邊平方進(jìn)而求得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），直至得出標(biāo)準(zhǔn)方程+=1.

至此話鋒一轉(zhuǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考：上述化簡(jiǎn)過(guò)程步驟復(fù)雜，我們能否運(yùn)用其他方法，使推導(dǎo)過(guò)程更簡(jiǎn)捷一些呢？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生得出以下方法：

設(shè)=a+t，=a-t（t是參數(shù)），由于（a+t）2-（a-t）2=[] 2-[] 2=4cx， ∴ 4at=4cx，得t=x.從而有=a+x. ①

在學(xué)生推出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考：①式的幾何意義表示什么？由①可得=.不難看出，表示點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)F1（-c，0）的距離，而x+表示點(diǎn)P（x，y）與直線x=-的距離，上述兩距離的比值為.從推導(dǎo)過(guò)程明顯看出，橢圓第一定義與橢圓第二定義是等價(jià)的，此時(shí)再介紹橢圓第二定義，便水到渠成.

由于以上設(shè)計(jì)思維的入口不是朝橢圓第二定義的方向進(jìn)行，而是要求學(xué)生簡(jiǎn)化橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，所以能很好地引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.推導(dǎo)過(guò)程中不僅得到橢圓第二定義，同時(shí)還得到焦半徑公式：|PF1|==a+ex，|PF2|==a-ex，有利于今后的教學(xué)和應(yīng)用.

對(duì)以上兩種教學(xué)設(shè)計(jì)思路進(jìn)行比較：方案一的教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)單，比較適合學(xué)習(xí)一般的學(xué)生，但在所提問(wèn)題中，已知橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)非常易求，為什么不去求縱坐標(biāo)，而要繞圈子去求點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離又不太符合思維簡(jiǎn)捷的習(xí)慣，因而學(xué)生思考的積極性可能受到影響；方案二的設(shè)計(jì)能夠依據(jù)教材，重新找到思維入口來(lái)學(xué)習(xí)橢圓第二定義，靈活度較大，有創(chuàng)新意識(shí)，能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性，但它對(duì)學(xué)生的教學(xué)基礎(chǔ)與思維素質(zhì)有較高的要求.

以上兩個(gè)設(shè)計(jì)說(shuō)明教師的課堂教學(xué)既要依據(jù)教材，而又不拘泥于教材；既要靈活地使用教材，而又不能生搬硬套教材.在教學(xué)中選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)乃季S入口，不僅使我們的教學(xué)思維更加流暢，同時(shí)能使教學(xué)效率得到很大提高.