排列組合典型問題的解法歸納

〔關鍵詞〕 排列；組合；優先法；捆綁法；插入法；

倍縮法；分隔模型法

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）11（B）—0058—01

排列組合問題是高中數學的一個難點，許多學生在解排列組合問題時感覺無從下手。通過在教學中的不斷探索，本文將排列組合問題作了總結分類，歸納了一些典型題型的解題方法。

定位問題優先法

例1：將A、B、C、D、E、F六個不同的電子元件在線路上排成一排組成一個電路，如果元件A、B均不能排在兩端，那么這六個電子原件組成不同的電路的種數是多少？

分析：本題目對A、B元件指定只能在中間位置，故而優先安排這兩個特殊元素。元件A、B在中間四個位置中任選兩個排列，有A種排法，其余四個元件可任選剩余的四個位置做排列共有A種排法。故由乘法原理知，這六個電子原件可組成的電路總數為AA=288個。

相鄰問題捆綁法

例2：停車廠有10個車位，現有8輛車需停放，要使2個空位連在一起，有多少種不同的停法？

分析：這個停車問題是標準的相鄰問題，可以把兩個空位捆綁起來看成一個整體與8輛車一起做全排列。這樣做排列后可以保證兩個空位是連在一起的，所以不同的停法總數為A=51840種。

間隔問題插入法

例3：有4位男同學，3位女同學排隊拍照，要求三位女同學中任何兩位不能排到一起，問總共有多少種不同的排法？

分析：為了保證任何兩個女同學不排到一起，先將4個男同學排好隊，然后把3個女生插到不同的空檔中去。4個男生的排法有A種，女生可插入的空檔有5個（包括兩面邊上的空檔），故共有A種排法。根據乘法原理，滿足要求的排法有AA=1440種。

總結：間隔問題插入法中，需要把排列的對象分類，然后分步處理。第一步先排列沒有間隔限制的元素。注意第一步的排列要保證為第二步提供的空檔大于要插入的元素數，這樣才可以保證第二步插入后能滿足間隔要求。

定序問題倍縮法

例4：用1，2，3，4，5五個數字組成沒有重復數字的五位數。（1）若限制在組成的數字中2，4的次序一定（即2必須在4之前），則這樣的數字有多少個？ （2）若同時限制1，3的次序一定，這樣的數字有多少個？

分析：（1）五個數能組成的沒有重復數字的五位數的總數為A，2，4次序不同的有A=2種，設2在4前面的五位數為x，則有A·x=A，故而x=A/A。可見，限制條件下的個數可通過對非限制條件個數縮倍得到。

（2）同理，若再加上1，3次序的限制，我們在此基礎上繼續倍縮得滿足條件的數字個數y=A/（A·A）。

擋板分隔模型法

例5：從5個班中選出10個人組成校籃球隊，每個班至少一人，共有幾種選法？

分析：這一問題與挑選的順序無關，故將10個人看成10個相同的小球，放入5個不同的盒內，每盒至少一個球。至此，原問題轉換為分球入盒問題，我們可以用利用“擋板分隔”法來解決這一問題。先把10個球排成一列，然后在其中9個空隙中選4個位置插入4塊“擋板”，分成5格構成五個盒子，故而原題目共有C種選法。

思維轉化法

例6： 教學樓從一樓到二樓共有10階樓梯，上樓可以一步一階樓梯，也可以一步兩階樓梯。若規定從一樓到二樓用8步走完，問上樓梯的方法共有多少種？

分析：這個問題中既包含排列的思想也包含組合的思想。直接通過排列或組合的方式去計算這個問題很復雜，然而，我們可以考慮在8個步伐中，從中挑出2個步伐分解成兩小步，分解后的效果與題目要求完全吻合。于是問題變成從8個中挑選2個的組合問題，所有的方法數為C=28種。可見，對一些復雜問題，可以通過改變思考問題的角度，將其轉化為另一等價的問題而使問題得以解決。前面將例5轉化為 “分球入盒”的問題去處理，實質上也是通過思維轉化實現的。

綜上，針對排列組合問題，教師應首先要求學生掌握典型問題的解題方法，這樣可以消除學生遇到問題時的迷茫和無從下手的感覺；其次引導學生多角度地思考問題，在反復的練習中熟練掌握此類問題的解題方法。