對一道習題的觀察、聯想與發現

〔關鍵詞〕 數學歸納法；等式；組合數；系數；展開式；

求導

〔中圖分類號〕 G633.62〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2008）11（B）—0018—01

現行全日制普通高中數學第二冊（下B）復習參考題的第二題，是一道很好的題目.如果教師根據題目的特點尋找不同的證法，并通過引申與推廣得出一系列的結論，則可以培養學生觀察、聯想和發現的能力.

[問題] 求證：C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.

特點一：該等式與自然數有關，可用數學歸納法證之，故得證法一（略）.

特點二：等式的任一項均可表示為kC的形式，聯想已知命題kC=nC，得證法如下：

左邊=kC=nC=nC=n·2n-1=右邊.

∴ C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.

特點三：等式左邊各組合數的系數是從1到n的連續自然數，它們成等差數列，因而可用倒序錯位相加法來證，得到證法三：

設Sn=C+2C+3C+…+nC， ①

則Sn=nC+（n-1）C+…+C.②

①+②得2Sn=nC+nC+…+nC

=n（C+C+…+C）=n·2n.

∴ Sn=n·2n-1.

特點四：等式左邊各項中的組合數分別為C，C，…，C，這可以看作是（1+x）n展開式中x，x2，…，xn的系數，因此可利用（1+x）n的展開式來證明，得證法四如下：

∵ （1+x）n=C+Cx+Cx2+…+Cxn，

∴對上式兩邊的x求導并令x=1，得

C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.

以上通過觀察題目的特點得出了四種完全不同的證明方法，如果繼續進行分析和聯想，還可以得到一系列有趣的結論.

聯想一：若問題左邊的各組合數系數為1，，…，，則有結論一：

C+C+…+C=（2n+1-1）.

只要對（1+x）n=C+Cx+Cx2+…+Cxn兩邊積分并令x=1即得證.

聯想二：由結論一可得推廣的結論二如下：

對滿足x≠0，-1，-2，…，-n的實數x，均有：-+-…+（-1）n=.

此結論可用數學歸納法證明.

聯想三：由結論一我們可以探求下列表達式的值：C-C+C-…+（-1）n+1C.

當n=1時，所求值為1；當n=2時，所求值為C-C=1+；當n=3時，所求值為C-C+C=1++.

因此利用數學歸納法，可證得結論三如下：

C-C+C-…+（-1）n+1C=1+++…+.

聯想四：由于等式左邊各組合數的系數成等差數列，故可考慮一般情況，設數列{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，用高斯法易證下述結論四：a1C+a2C+a3C+…+anC=（2n-1）a1+（n·2n-1-2n+1）d.

聯想五：如果問題中左邊的和式為：C+2C+3C+…+（n+1）C，由于（k+1）C=kC+C=n·2n-1+2n，所以C+2C+3C+…+（n+1）C=2n-1（n+2）.

結合聯想四，即得結論五：若數列{an}是首項為a1，公差為d的等差數列，則

a1C+a2C+a3C+…+an+1C=2n-1（2a1+nd）.

聯想六：在證法四中，令x取其他特殊值，如x=-1，x=-2，結論如何呢？

x=-1時，有C-2C+3C-…+（-1）n-1nC=0（n≥2）；

x=-2時，有C-4C+12C-…+（-1）n-12n-1nC=（-1）n-1n（n≥3）.

故而有結論六：

C+2aC+…+nan-1C=n（1+a）n-1（n≥2）.